平面声波——一维Helmhotz波动方程

平面声波的一维Helmholtz波动方程是一种简化的声波传播模型，适用于在一维空间中传播的声波。

声波的基本物理过程---傅里叶变换---Helmholtz方程

一、声波的基本波动方程

在无源、无耗散、均匀介质中的一维声波的波动方程为：

其中：

表示位置  处和时间  时的声压，

是声波在介质中的传播速度，

表示声压对时间的二阶导数（即声压随时间的加速度），

表示声压对空间坐标的二阶导数（即声压随空间的变化率）。

 二、Helmholtz方程的推导

为了将波动方程简化为Helmholtz方程，需假设声压随时间的变化具有简谐性质，即声波是单一频率的正弦波。即：

其中：

 是只随空间位置  变化的函数，

是声波的角频率，

描述了声波的时间依赖部分，表示一个简谐振荡的形式。

将假设带入波动方程中，时间的二阶导数为：

代入波动方程：

由于时间部分是相同的，因此可以得到仅随空间  变化的方程：

 

三、一维Helmholtz波动方程

最终得到的方程称为一维Helmholtz波动方程，形式为：

 

其中：

是空间中的声压分布，

是波数，代表声波在空间中的传播特性。 

四、 Helmholtz波动方程的解

一维Helmholtz方程的通解为：

其中：

和是待定的常数，代表沿正向传播和沿反向传播的波，

和分别代表波向正  方向和负  方向传播。 

这种解形式表示声波可以在介质中沿不同方向传播，具体形式取决于边界条件（如吸声材料的反射特性等）。