高等数学 7.6高阶线性微分方程

方程
$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+P(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+Q(x)=f(x)\text{\hspace{1em}(1)}$$
叫做二阶线性微分方程。当方程右端 $f(x)\equiv 0$ 时，方程叫做齐次的；当 $f(x)\not\equiv 0$ 时，方程叫做非齐次的。

一、线性微分方程的解的结构

先讨论二阶齐次线性方程
$$y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=0\text{\hspace{1em}(2)}$$

定理1 如果函数 $y_1(x)$ 与 $y_2(x)$ 是方程 $(2)$ 的两个解，那么
$$y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)\text{\hspace{1em}(3)}$$
也是 $(2)$ 的解，其中 $C_1,C_2$ 是任意常数。

设 $y_1(x),y_2(x),\cdots ,y_n(x)$ 为定义在区间 $I$ 上的 $n$ 个函数，如果存在 $n$ 个不全为零的常数 $k_1,k_2,\cdots ,k_n$，使得当 $x\in I$ 时恒有等式
$$k_1{y}_1+k_2{y}_2+\cdots +k_n{y}_n\equiv 0$$
成立，那么称这 $n$ 个函数在区间 $I$ 上线性相关；否则称线性无关。

对于两个函数的情形，它们线性相关与否，只要看它们的比是否为常数：如果比为常数，那么它们是线性相关的；否则就线性无关。

定理2 如果 $y_1(x)$ 与 $y_2(x)$ 是方程 $(2)$ 的两个线性无关的特解，那么
$$y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)(C_1,C_2是任意常数)$$
就是方程 $(2)$ 的通解。

定理2推广到 $n$ 阶齐次线性方程，得到如下推论
推论 如果 $y_1(x),y_2(x),\cdots ,y_n(x)$ 是 $n$ 阶齐次线性方程
$$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}(x)y^{\prime }+a_n(x)y=0$$
的 $n$ 个线性无关的解，那么此方程的通解为
$$y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)+\cdots +C_n{y}_n(x),$$
其中 $C_1,C_2,\cdots ,C_n$ 为任意常数。

定理3 设 $y^{\ast }(x)$ 是二阶非齐次线性方程
$$y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=f(x)\text{\hspace{1em}(4)}$$
的一个特解，$Y(x)$ 是与 $(4)$ 对应的齐次方程 $(2)$ 的通解，则
$$y=Y(x)+y^{\ast }(x)\text{\hspace{1em}(5)}$$
是二阶非齐次线性微分方程 $(4)$ 的通解。

定理4 设非齐次线性方程 $(4)$ 的右端 $f(x)$ 是两个函数之和，即
$$y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=f_1(x)+f_2(x),$$
而 $y_1^{\ast }(x)$ 与 $y_2^{\ast }$ 分别是方程
$$y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=f_1(x)$$
与
$$y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=f_2(x)$$
的特解，则 $y_1^{\ast }(x)+y_2^{\ast }(x)$ 就是原方程得特解。
这一定理通常称为线性微分方程的解的叠加原理。

定理3和定理4也可推广到 $n$ 阶非齐次线性方程。

*二、常数变易法

常数变易法也适用于解高阶线性微分方程。
如果已知齐次方程 $(2)$ 的通解为
$$Y(x)=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$$
那么，可以用如下的常数变易法去求非齐次方程 $(4)$ 的通解，令
$$y=y_1(x)v_1+y_2(x)v_2\text{\hspace{1em}(6)}$$
要确定未知函数 $v_1(x)$ 及 $v_2(x)$ 使 $(6)$ 式所表示的函数满足非齐次方程 $(4)$。为此，对 $(6)$ 求导，得
$$y^{\prime }=y_1{v}_1^{\prime }+y_2{v}_2^{\prime }+y_1^{\prime }{v}_1+y_2^{\prime }{v}_2.$$
由于两个未知函数 $v_1,v_2$ 只需使 $(6)$ 所表示的函数满足一个关系式 $(4)$ 。所以可规定它们再满足一个关系式。从 $y^{\prime }$ 的上述表示式可看出，为了使 $y^{\prime \prime }$ 的表示式中不含 $v_1^{\prime \prime }$ 和 $v_2^{\prime \prime }$，可设
$$y_1{v}_1^{\prime }+y_2{v}_2^{\prime }=0\text{\hspace{1em}(7)}$$
从而
$$y^{\prime }=y_1^{\prime }{v}_1+y_2^{\prime }{v}_2$$
再求导，得
$$y^{\prime \prime }=y_1^{\prime }{v}_1^{\prime }+y_2^{\prime }{v}_2^{\prime }+y_1^{\prime \prime }{v}_1+y_2^{\prime \prime }{v}_2$$
把 $y,y^{\prime },y^{\prime \prime }$ 代入方程 $(4)$ ，得
$$y_1^{\prime }{v}_1^{\prime }+y_2^{\prime }{v}_2^{\prime }+y_1^{\prime \prime }{v}_1+y_2^{\prime \prime }{v}_2+P(y_1^{\prime }{v}_1+y_2^{\prime }{v}_2)+Q(y_1{v}_1,y_2{v}_2)=f$$
整理，得
$$y_1^{\prime }{v}_1^{\prime }+y_2^{\prime }{v}_2^{\prime }+(y_1^{\prime \prime }+P{y}_1^{\prime }+Q{y}_1)v_1+(y_2^{\prime \prime }+P{y}_2^{\prime }+Q{y}_2)v_2=f$$
注意到 $y_1$ 及 $y_2$ 是齐次方程 $(2)$ 的解，故上式即为
$$y_1^{\prime }{v}_1^{\prime }+y_2^{\prime }{v}_2^{\prime }=f\text{\hspace{1em}(8)}$$
联立方程 $(7)$ 与 $(8)$ ，在系数行列式
$$W=\left|\begin{array}{cc}{y}_1& y_2\\ y_1^{\prime }& y_2^{\prime }\end{array}\right|=y_1{y}_2^{\prime }-y_1^{\prime }{y}_2\ne 0$$
时，可解得
$$v_1^{\prime }=-\frac{y_{2}f}{W},v_2^{\prime }=\frac{y_{1}f}{W}.$$
对上两式积分（假定 $f(x)$ 连续），得
$$v_1=C_1+\int \left(-\frac{y_{2}f}{W}\right)\mathrm{d}x,v_2=C_2+\int \frac{y_{1}f}{W}\mathrm{d}x.$$
于是得非齐次方程 $(1)$ 的通解为
$$y=C_1{y}_1+C_2{y}_2-y_1\int \frac{y_{2}f}{W}\mathrm{d}x+y_2\int \frac{y_{1}f}{W}\mathrm{d}x.$$

例1 已知齐次方程 $(x-1)y^{\prime \prime }-x{y}^{\prime }+y=0$ 的通解为 $Y(x)=C_{1}x+C_2{\mathrm{e}}^x$，求非齐次方程 $(x-1)y^{\prime \prime }-x{y}^{\prime }+y=(x-1{)}^2$ 的通解。
解：把所给方程写成标准形式
$$y^{\prime \prime }-\frac{x}{x-1}{y}^{\prime }+\frac{1}{x-1}=x-1$$
令$y=x{v}_1+{\mathrm{e}}^x{v}_2$，按照
$$\{\begin{array}{l}{y}_1{v}_1^{\prime }+y_2{v}_2^{\prime }=0\\ y_1^{\prime }{v}_1^{\prime }+y_2^{\prime }{v}_2^{\prime }=f\end{array}$$
有
$$\{\begin{array}{l}x{v}_1^{\prime }+{\mathrm{e}}^x{v}_2^{\prime }=0\\ v_1^{\prime }+{\mathrm{e}}^x{v}_2^{\prime }=x-1\end{array}$$
解得
$$v_1^{\prime }=-1,v_2^{\prime }=x{\mathrm{e}}^{-x}.$$
积分，得
$$v_1=C_1-x,v_2=C_2-(x+1){\mathrm{e}}^{-x}.$$
于是所求非齐次方程的通解为
$$y=C_{1}x+C_2{\mathrm{e}}^x-(x^2+x+1).$$

如果只知齐次方程 $(2)$ 的一个不恒为零的解 $y_1(x)$ ，那么，利用变换 $y=u{y}_1(x)$，可把非齐次方程 $(1)$ 化为一阶线性方程。

事实上，把
$$y=y_{1}u,y^{\prime }=y_1{u}^{\prime }+y_1^{\prime }u,y^{\prime \prime }=y_1{u}^{\prime \prime }+2y_1^{\prime }{u}^{\prime }+y_1^{\prime \prime }u$$
代入方程 $(1)$，得
$$y_1{u}^{\prime \prime }+2y_1^{\prime }{u}^{\prime }+y_1^{\prime \prime }u+P(y_1{u}^{\prime }+y_1^{\prime }u)+Q{y}_{1}u=f,$$
即
$$y_1{u}^{\prime \prime }+(2y_1^{\prime }+P{y}_1)u^{\prime }+(y_1^{\prime \prime }+P{y}_1^{\prime }+Q{y}_1)u=f,$$
由于 $y_1^{\prime \prime }+P{y}_1^{\prime }+Q{y}_1\equiv 0$，故上式为
$$y_1{u}^{\prime \prime }+(2y_1^{\prime }+P{y}_1)u^{\prime }=f.$$
令 $u^{\prime }=z$ ，上式即化为一阶线性方程
$$y_1{z}^{\prime }+(2y_1^{\prime }+P{y}_1)z=f.\text{\hspace{1em}(9)}$$
把方程 $(4)$ 化为方程 $(9)$ 以后，按一阶线性方程的解法，设求得方程 $(9)$ 的通解为
$$z=C_{2}Z(x)+z^{\ast }(x)$$
积分得
$$u=C_1+C_{2}U(x)+u^{\ast }(x)(其中U^{\prime }(x)=Z(x),u^{{\ast }^{\prime }}(x)=z^{\ast }(x)),$$
上式两端同乘 $y_1(x)$，便得方程 $(4)$ 的通解
$$y=C_1{y}_1(x)+C_{2}U(x)y_1(x)+u^{\ast }(x)y_1(x)$$
上述方法也适用于求齐次方程 $(2)$ 的通解。

例2 已知 $y_1(x)={\mathrm{e}}^x$ 是齐次方程 $y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+y=0$ 的解，求非齐次方程 $y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+y=\frac{1}{x}{\mathrm{e}}^x$ .
解：令 $y={\mathrm{e}}^{x}u$，则 $y^{\prime }={\mathrm{e}}^x(u^{\prime }+u),y^{\prime \prime }={\mathrm{e}}^x(u^{\prime \prime }+2u^{\prime }+u)$ ，代入非齐次方程，得
$${\mathrm{e}}^x(u^{\prime \prime }+2u^{\prime }+u)-2{\mathrm{e}}^x(u^{\prime }+u)+{\mathrm{e}}^{x}u=\frac{1}{x}{\mathrm{e}}^x,$$
即
$${\mathrm{e}}^{x}u=\frac{1}{x}{\mathrm{e}}^x,u^{\prime \prime }=\frac{1}{x}.$$
只要直接积分，便得
$$u^{\prime }=C+\ln |x|,$$
再积分得
$$u=C_1+Cx+x\ln |x|-x,$$
即
$$u=C_1+C_{2}x+x\ln |x|(C_2=C-1).$$
于是所求通解为
$$y=C_1{\mathrm{e}}^x+C_{2}x{\mathrm{e}}^x+x{\mathrm{e}}^x\ln |x|.$$

原文链接：高等数学 7.6高阶线性微分方程