齐次线性微分方程的解的性质与结构

内容来源

常微分方程(第四版) (王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松) 高等教育出版社

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齐次线性微分方程定义

$$\frac{{\mathrm{d}}^{n}x}{\mathrm{d}{t}^n}+a_1(t)\frac{{\mathrm{d}}^{n-1}x}{\mathrm{d}{t}^{n-1}}+\cdots +a_{n-1}(t)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+a_n(t)x=0$$

其中 $a_i(t)$ 是 $a⩽t⩽b$ 上的连续函数

符合以上条件的方程的解存在且唯一，即

对于任意 $t_0\in [a,b]$ 及 任意的 $x_0,x_0^{(1)},\cdots ,x_0^{(n-1)}$ 上式存在唯一解 $x=\phi (t)$ 定义与 $a⩽t⩽b$ 上，且满足初值条件

$$\phi (t_0)=x_0,\frac{\mathrm{d}\phi (t_0)}{\mathrm{d}{t}^n}=x_0^{(1)},\cdots ,\frac{{\mathrm{d}}^{n-1}\phi (t_0)}{\mathrm{d}{t}^{n-1}}=x_0^{(n-1)}$$

书上没有证明，只说类似一阶的情况

在初值条件给定的情况下才是唯一的

解的性质与结构

叠加原理

如果 $x_1(t),x_2(t),\cdots ,x_k(t)$ 是方程的 $k$ 个解，则它们的线性组合

$$c_1{x}_1(t)+c_2{x}_2(t)+\cdots +c_k{x}_k(t)$$

也是方程的解，这里 $c_i$ 是任意常数全为零不行吧

这个也没证明，只有两条提示：

“常数可以从微分号下提了出来”

“和的导数等于导数之和”

朗斯基(Wronsky)行列式

由定义在 $a⩽t⩽b$ 上的 $k$ 个可微 $k-1$ 次函数 $x_1(t),x_2(t),\cdots ,x_k(t)$ 所作成的行列式

$$W[x_1(t),x_2(t),\cdots ,x_k(t)]\equiv W(t)\equiv \left|\begin{array}{cccc}{x}_1(t)& x_2(t)& \cdots & x_k(t)\\ x_1^{\prime }(t)& x_2^{\prime }(t)& \cdots & x_k^{\prime }(t)\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ x_1^{(k-1)}(t)& x_2^{(k-1)}(t)& \cdots & x_k^{(k-1)}(t)\end{array}\right|$$

称为这些函数的朗斯基行列式

用途

1. 若函数 $x_1(t),x_2(t),\cdots ,x_n(t)$ 在 $a⩽t⩽b$ 上线性相关，则在 $[a,b]$ 上它们的朗斯基行列式 $W(t)\equiv 0$

2. 如果方程的解 $x_1(t),x_2(t),\cdots ,x_n(t)$ 在 $a⩽t⩽b$ 上线性无关，则 $W[x_1(t),x_2(t),\cdots ,x_n(t)]$ 在这个区间上的任何点上都不等于零

注意，第一点的逆定理一般不成立

证明1

由线性相关的假设，存在一组不全为零的常数 $c_1,c_2,\cdots ,c_n$ ，使得

$$c_1{x}_1(t)+c_2{x}_2(t)+\cdots +c_n{x}_n(t)\equiv 0,a⩽t⩽b$$

将此恒等式依次对 $t$ 求导

$$\{\begin{array}{l}{c}_1{x}_1^{\prime }(t)+c_2{x}_2^{\prime }(t)+\cdots +c_n{x}_n^{\prime }(t)=0\\ c_1{x}_1^{\prime \prime }(t)+c_2{x}_2^{\prime \prime }(t)+\cdots +c_n{x}_n^{\prime \prime }(t)=0\\ ⋮\\ c_1{x}_1^{(n-1)}(t)+c_2{x}_2^{(n-1)}(t)+\cdots +c_n{x}_n^{(n-1)}(t)=0\end{array}$$

加上求导前的恒等式，构成齐次线性代数方程组

系数行列式就是 $W[x_1(t),x_2(t),\cdots ,x_n(t)]$

由线代理论可知，此方程组存在非零解，则它的系数行列式必须为零

证明2

用反证，假设存在某个 $t_0$ 使得 $W(t_0)=0$

再次由线代理论知，上面的方程组一定有非零解 $c_1,c_2,\cdots ,c_n$

用叠加原理构造一个新解

$$x(t)\equiv c_1{x}_1(t)+c_2{x}_2(t)+\cdots +c_n{x}_n(t)$$

这个解满足初值条件

$$x(t_0)=x^{\prime }(t_0)=\cdots =x^{(n-1)}(t_0)=0$$

就是方程组的每一行

但$x=0$ 显然也是方程满足以上初值条件的解

由解的唯一性知 $x(t)\equiv 0$ ，即

$$c_1{x}_1(t)+c_2{x}_2(t)+\cdots +c_n{x}_n(t)\equiv 0$$

又 $c_1,c_2,\cdots ,c_n$ 不全为零，与 $x_1(t),x_2(t),\cdots ,x_n(t)$ 线性无关的假设矛盾

结合以上两点和解的存在唯一性

$n$ 阶齐次线性方程一定存在 $n$ 个线性无关的解

通解结构

如果 $x_1(t),x_2(t),\cdots ,x_n(t)$ 是方程的 $n$ 个线性无关的解，则通解可表示为

$$x=c_1{x}_1(t)+c_2{x}_2(t)+\cdots +c_n{x}_n(t)$$

$n$ 阶齐次线性微分方程的所有解构成一个 $n$ 维线性空间

方程的一组 $n$ 个线性无关解成为方程的一个基本解组

特别地，当 $W(t_0)=1$ 时称其为标准基本解组