【数学二】线性代数-矩阵-矩阵的概念及运算

考试要求

1、理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质.
2、掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.
3、理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件.理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.
4、了解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法.
5、了解分块矩阵及其运算.

矩阵的概念及运算

矩阵的概念

定义 $m\times n$个数排成如下$m$行$n$的一个表格$$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$$
称为一个$m\times n$矩阵，当$m=n$时，矩阵$A$称为$n$阶矩阵或叫$n$阶方阵


如果一个矩阵的所有元素都是0，即$$\left[\begin{array}{cccc}0& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right]$$
则称这个矩阵是零矩阵，可简记为$O$.


两个矩阵$A=[a_{ij}{]}_{m\times n}，B=[b_{ij}{]}_{s\times t}$，如果$m=s,n=t$，则称$A$与$B$是同型矩阵。


两个同型矩阵$A=[a_{ij}{]}_{m\times n}，B=[b_{ij}{]}_{m\times n}$，如果对应的元素都相等，记$a_{ij}=b_{ij}(i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n)$ ,则称矩阵A与B相等，记作$A=B$

矩阵的运算

加法 两个同型矩阵可以相加，且$$A+B=[a_{ij}{]}_{m\times n}+[b_{ij}{]}_{m\times n}=[a_{ij}+b_{ij}{]}_{m\times n}$$

数乘 设$k$是数，$A=[a_{ij}{]}_{m\times n}$是矩阵，则定义数与矩阵的乘法为$$kA=k[a_{ij}{]}_{m\times n}=[k{a}_{ij}{]}_{m\times n}$$
乘法 设$A$是一个$m\times s$矩阵，$B$是一个$s\times n$矩阵 ($A$的列数=$B$的行数)，则$A,B$可乘，且乘积$AB$是一个$m\times n$的矩阵，记成$C=AB=[c_{ij}{]}_{m\times n}$，其中$C$的第$i$行、第$j$列元素$c_{ij}$是$A$的第$i$行$s$个元素和$B$的第$j$列的$s$个对应元素两两乘积之和，即$$c_{ij}=\sum _{k=1}^s{a}_{ik}{b}_{kj}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{is}{b}_{sj}$$

单位矩阵E 主对角线全为1
$$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]$$

对角矩阵
$$\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& 0& 0\\ 0& a_2& 0\\ 0& 0& a_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{b}_1& 0& 0\\ 0& b_2& 0\\ 0& 0& b_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{1}b1& 0& 0\\ 0& a_{2}b2& 0\\ 0& 0& a_{3}b3\end{array}\right]$$
1、${\Lambda }_1{\Lambda }_2={\Lambda }_2{\Lambda }_1$


2、${\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& 0& 0\\ 0& a_2& 0\\ 0& 0& a_3\end{array}\right]}^n=\left[\begin{array}{ccc}{a}_1^n& 0& 0\\ 0& a_2^n& 0\\ 0& 0& a_3^n\end{array}\right]$


3、${\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& 0& 0\\ 0& a_2& 0\\ 0& 0& a_3\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{a_1}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{a_2}& 0\\ 0& 0& \frac{1}{a_3}\end{array}\right](a_i\ne 0)$

定义（ 转置） 将$m\times n$型矩阵$A=[a_{ij}{]}_{m\times n}$的行列互换得到的$n\times m$矩阵$[a_{ij}{]}_{m\times n}$称为$A$的转置矩阵，记为$A^T$，即若$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]，则A^T=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{21}& \cdots & a_{m1}\\ a_{12}& a_{22}& \cdots & a_{m2}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{1n}& a_{2n}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$$

定义（矩阵多项式） 设$A$是$n$阶矩阵，$f(x)=a_m{x}^m+\cdots +a_{1}x+a_0$是$x$的多项式，则称$$a_m{A}^m+a_{m-1}{A}^{m-1}+\cdots +a_{1}A+a_{0}E$$ 为矩阵多项式，记为$f(A)$


运算法则

1、加法 A，B，C是同型矩阵，则$$\begin{gathered} A+B=B+A交换律 \\ (A+B)+C=A+(B+C)结合律 \\ A+O=A其中O是元素全为零的同型矩阵 \\ A+(-A)=O \end{gathered}$$


2、数乘矩阵
$$\begin{gathered} k(mA)=(km)A=m(kA); \\ (k+m)A=kA+mA \\ k(A+B)=kA+kB;1A=A;0A=O \end{gathered}$$

3、乘法 A，B，C满足运算条件时
$$\begin{gathered} (AB)C=A(BC) \\ A(B+C)=AB+AC \\ (B+C)A=BA+CA \end{gathered}$$
4、转置
$$\begin{gathered} (A+B{)}^T=A^T+B^T; \\ (kA{)}^T=k{A}^T \\ (AB{)}^T=B^T{A}^T \\ (A^T{)}^T=A \end{gathered}$$


练习1：若$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]-X+\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}2& 0& -1\end{array}\right]=3\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 2& 0\\ 3& 3& 3\end{array}\right]$，则$X=$？

解：$$\begin{gathered} 依据同型函数的交换律可得： \\ \left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]-3\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 2& 0\\ 3& 3& 3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}2& 0& -1\end{array}\right]=X \\ X=\left[\begin{array}{ccc}1-3& 2& 3\\ 4-6& 5-6& 6\\ 7-9& 8-9& 9-9\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}2& 0& -1\\ 4& 0& -2\\ 0& 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 2& 2\\ 2& -1& 4\\ -2& -1& 0\end{array}\right] \end{gathered}$$

练习2：设$A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]，B=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$则$$\begin{gathered} 1、AB-BA=? \\ 2、(AB{)}^2=? \\ 3、A^2{B}^2=? \end{gathered}$$

解-1：$$\begin{gathered} AB-BA=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ -3& -4\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& -4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 4\\ -6& 0\end{array}\right] \end{gathered}$$

解-2：$$(AB{)}^2=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ -3& -4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ -3& -4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-5& -6\\ 9& 10\end{array}\right]$$

解-3：$$A^2{B}^2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}7& 10\\ 15& 22\end{array}\right]$$

练习3： 方程组$$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2-x_3+4_4=2\\ \\ 2x_1-x_2+x_3+x_4=1\\ \\ x_1+7x_2-4x_3+11x_4=5\end{array}$$用矩阵表示？

解：$$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 4\\ 2& -1& 1& 1\\ 1& 7& -4& 11\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 5\end{array}\right]$$

若记$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 4\\ 2& -1& 1& 1\\ 1& 7& -4& 11\end{array}\right]$称为方程组系数矩阵，未知数$x=[x_1,x_2,x_3,x_4{]}^T$,常数项$b=[2,1,5{]}^T$,则方程组表示为： $Ax=b$
如果对系数矩阵$A$按列分块，记为$A=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4]$
由分块矩阵乘法，有$$[{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right]=b$$得$x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+x_3{\alpha }_3+x_4{\alpha }_4=b$

非齐次方程：$A\ne 0$有唯一解
齐次方程：$A\ne 0$只有零解，$A=0$有非零解

常见的矩阵

设$A$是$n$阶矩阵

单位阵：主对角线元素为1，其余元素为0的矩阵称为单位阵，记为${\mathrm{E}}_n$


数量阵：数k与单位阵$\mathrm{E}$的积$k\mathrm{E}$称为数量阵。


对角阵：非对角元素都是0的矩阵（即$\forall i\ne j$恒有$a_{ij}=0$）称为对角阵，记为$\Lambda ,\Lambda =diag[a_1,a_2,\cdots ,a_n]$


上(下)三角阵：当 $i>j(i<j)$时，有$a_{ij}=0$的矩阵称为上(下)三角阵


对称矩阵：满足$A^T=A$，即$a_{ij}=a_{ji}$的矩阵称为对称阵。


反对称阵：满足$A^T=-A$，即$a_{ij}=-a_{ji}，a_{ii}=0$的矩阵称为反对称阵。