C++：探索AVL树旋转的奥秘

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前言 AVL树为什么要旋转？

AVL树需要旋转是为了保持平衡。当插入或删除节点后，某些子树的高度差超过1，就会破坏AVL树的平衡性。为了让树重新平衡，避免一边过高、一边过低的情况，旋转可以调整节点的位置，使树保持左右高度差不超过1。这样做的目的是确保查找、插入、删除操作的效率始终保持在 O(log₂ n)。简单来说，旋转就是“调位置，让树站得更稳”。

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一、插入一个值的大概过程

1. 插入一个值的大致过程

1. 按照二叉搜索树规则插入：
   插入的新节点位置依据二叉搜索树的性质确定，即小于当前节点放左子树，大于当前节点放右子树。

2. 更新平衡因子：
   新增节点后，只会影响其祖先节点的高度，可能导致部分祖先节点的平衡因子发生变化。从新增节点向根节点逐步更新平衡因子。如果在更新过程中某节点的平衡因子变为2或-2，说明该节点的子树已经不平衡，需要旋转处理；否则，插入结束。

3. 检查平衡并调整：

   • 如果更新平衡因子的过程中没有发现问题（平衡因子均为0、1或-1），插入操作完成。
   • 如果出现不平衡，则对不平衡的子树进行旋转处理。旋转不仅恢复子树的平衡，还会降低子树的高度，确保不再影响其父节点的平衡因子，从而结束插入过程。

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2. 平衡因子更新原则

1. 平衡因子公式：
   

   只有子树高度发生变化时，才会影响当前节点的平衡因子。

2. 更新规则：

   • 若新增节点在父节点的右子树，则父节点的平衡因子增加1（+1）。
   • 若新增节点在父节点的左子树，则父节点的平衡因子减少1（-1）。

3. 更新停止条件：

   • 平衡因子变为0：
     父节点平衡因子从 -1 变为 0 或从 1 变为 0，说明新增节点插入到高度较低的一侧，子树高度未改变，更新过程可以停止。
   • 平衡因子变为1或-1：
     父节点平衡因子从 0 变为 1 或从 0 变为 -1，说明新增节点插入后子树高度增加，但仍符合平衡要求，需继续向上更新。
   • 平衡因子变为2或-2：
     父节点平衡因子从 1 变为 2 或从 -1 变为 -2，说明子树高度过高，已失去平衡，需要进行旋转处理。

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3. 旋转处理的目的

1. 恢复平衡：
   通过单旋转或双旋转调整节点位置，使当前子树符合平衡要求。
2. 降低子树高度：
   旋转后，子树高度恢复到插入前的水平，确保不会对更高层节点产生影响，插入过程结束。

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二、左单旋

形成条件：parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1

1. 左单旋旋转方式总处理图

1. 失衡检测：

   • 当插入的新节点导致父节点的平衡因子为 2，并且新节点被插入到右子树的右侧时，发生右右失衡（RR失衡）。

2. 旋转操作：

   • 左单旋的核心目标是将父节点的右子树（即失衡节点的右子树根）提升为新的根节点，并将原来的父节点挂接到新根节点的左子树上。

parent->right = cur->left;  // 将右子树的左子树挂接到父节点的右子树
cur->left = parent;         // 将父节点挂接为右子树的左子树

3. 处理父节点链接问题：

   • 需要确保旋转后父节点的父节点（如果存在）正确地连接到新的根节点。
     • 如果原父节点有父节点（即不是根节点），则要更新父节点的左右子树指向新的根节点。
     • 如果原父节点是根节点，则更新树的根节点。

4. 更新平衡因子：

   • 旋转后，原父节点和新的根节点的平衡因子都应设置为 0，因为旋转使得这两颗子树已经平衡。

5. 旋转结束：

   • 完成旋转后，新的根节点成为子树的根，树恢复平衡。
     

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2. 左单旋具体会遇到的情况

我们具体会遇到比如 h = 0， h = 1, h = 2 …无穷多种情况：

分析如下:

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3. 左单旋代码总结

// 左单旋
void RotateL(Node* parent)
{Node* cur = parent->_right;Node* curleft = cur->_left;// 重新链接parent->_right = curleft;if (curleft) // 如果curleft存在{curleft->_parent = parent;}cur->_left = parent;Node* ppnode = parent->_parent;parent->_parent = cur;if (ppnode == nullptr){_root = cur;cur->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left = parent){ppnode->_left = cur;}else{ppnode->_right = cur;}cur->_parent = ppnode;}// 更改平衡因子parent->_bf = cur->_bf = 0;
}

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三、右单旋

形成条件：parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1

1. 右单旋旋转方式总处理图

右单旋处理的方式与左单旋是一致的，只不过是反过来了，就不多介绍了。

1. 失衡检测：

   • 当插入的新节点导致父节点的平衡因子为 -2，并且新节点被插入到左子树的左侧时，发生左左失衡（LL失衡）。

2. 旋转操作：

   • 右单旋的核心目标是将父节点的左子树（即失衡节点的左子树根）提升为新的根节点，并将原来的父节点挂接到新根节点的右子树上。

parent->left = cur->right;  // 将左子树的右子树挂接到父节点的左子树
cur->right = parent;        // 将父节点挂接为左子树的右子树

3. 处理父节点链接问题：

   • 需要确保旋转后父节点的父节点（如果存在）正确地连接到新的根节点。
     • 如果原父节点有父节点（即不是根节点），则要更新父节点的左右子树指向新的根节点。
     • 如果原父节点是根节点，则更新树的根节点。

4. 更新平衡因子：

   • 旋转后，原父节点和新的根节点的平衡因子都应设置为 0，因为旋转使得这两颗子树已经平衡。

5. 旋转结束：

   • 完成旋转后，新的根节点成为子树的根，树恢复平衡。

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2. 右单旋具体会遇到的情况

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3. 右单旋代码总结

// 右单旋
void RotateR(Node* parent)
{Node* cur = parent->_left;Node* curright = cur->_right;parent->_left = curright;if (curright){curright->_parent = parent;}cur->_right = parent;Node* ppnode = parent->_parent;if (ppnode == nullptr){cur->_parent = nullptr;_root = cur;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = cur;}else{ppnode->_right = cur;}cur->_parent = ppnode;}// 改变平衡因子parent->_bf = cur->_bf =  0;
}

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四、双旋

1. 右左双旋旋转逻辑

形成条件：parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1

这里是右左双旋的处理方式：

1. 插入新节点
2. 以cur进行右单旋
3. 以parent进行左单旋

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2. 右左双旋可能会遇到的问题辨析

h = 0 的情况：

h = 1 的情况：

h = 2 的情况：

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3. 右左双旋平衡因子的处理

右左双旋的平衡因子与前面的单旋的平衡因子处理方式不同，单旋平衡因子再旋转过后全都是0，但是双旋的平衡因子不一样。

它分为以下三种情况：

1. h = 0 的情况，及curleft._bf = 0，

结果——>parent._bf = 0，cur._bf = 0，curleft._bf = 0

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2. h > 0 的情况下，及curleft._bf == 1，
   以以下C位置插入引发的旋转。

结果： parent._bf = -1，cur._bf = 0，curleft._bf = 0

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3. h > 0 的情况下，及curleft._bf == -1，
   以以下B位置插入引发的旋转。

结果： parent._bf = 0，cur._bf = 1，curleft._bf = 0

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4. 右左双旋代码总结

// 右左双旋
void RotateRL(Node* parent)
{Node* cur = parent->_right;Node* curleft = cur->_left;int bf = curleft->_bf;// 右旋RotateR(cur);// 左旋RotateL(parent);// 调整平衡因子if (bf == 0){parent->_bf = 0;cur->_bf = 0;curleft->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = -1;cur->_bf = 0;curleft->_bf = 0;}else if (bf == -1){parent->_bf = 0;cur->_bf = 1;curleft->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

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五、左右双旋

形成条件：parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1

左右双旋与右左双旋类型，就是反过来的过程~

// 左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{Node* cur = parent->_left;Node* curright = cur->_right;int bf = curright->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == 0){parent->_bf = 0;cur->_bf = 0;curright->_bf = 0;}else if (bf == -1){parent->_bf = 1;cur->_bf = 0;curright->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = 0;cur->_bf = -1;curright->_bf = 0;}
}

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总结

那么，到这里就结束啦！

通过学习AVL树的旋转机制，我们不仅掌握了数据结构平衡的重要性，更感受到了算法的巧妙与严谨。

如果对您有帮助的话，麻烦点一个一键三连，谢谢啦~😘😘😘😘