P8692 [蓝桥杯 2019 国 C] 数正方形：结论，组合数学

题目描述

在一个 N×NN×N 的点阵上，取其中 44 个点恰好组成一个正方形的 44 个顶点，一共有多少种不同的取法？

由于结果可能非常大，你只需要输出模 109+7109+7 的余数。

如上图所示的正方形都是合法的。

输入格式

输入包含一个整数 NN。

输出格式

输出一个整数代表答案。

输入输出样例

输入 #1复制

4

输出 #1复制

20

说明/提示

对于所有评测用例，2≤N≤1062≤N≤106。

蓝桥杯 2019 年国赛 C 组 G 题

做法

正方形的放置分为正放和斜放。

先讨论正放情况。假设我们正放的正方形边长为i，那么我们我们在n*n的正方形中有（n-i）*（n-i)种放置方式。（有n-i行和n-i列要选）。

再讨论斜放情况。有一个结论：i*i的正方形中有i-1个最大内接斜正方形。我们1到n中的正方形有（n-i）*(n-i）个，那么斜放的就有（i-1）*（n-i）*(n-i)个。一共有i*(n-i)*(n-i)个

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define endl '\n'
using namespace std;
const int N=1e5+10,mod=1e9+7;
int n;
void solved(){cin>>n;int ans=0;for(int i=1;i<=n;i++){//正方形的边长 ans=(ans+i*(n-i)%mod*(n-i)%mod)%mod;}cout<<ans<<endl;
}
signed main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);int t=1;//cin>>t;while(t--){solved();}
}