2024年 数模美赛 B题 潜水艇

摘要

        随着深海探险活动的增加，确保潜水器及其乘客的安全成为一项重要任务。本文旨在为Maritime Cruises Mini-Submarines (MCMS)公司开发一套模型，用于预测潜水艇在发生故障时的位置，并制定有效的搜救策略。本文将详细讨论模型的开发、不确定性的来源、减少不确定性的方法、搜救设备的推荐以及搜索策略的优化。MCMS公司致力于提供深海探险服务，使用其制造的潜水艇带领游客探索海底世界。为了确保乘客安全，公司需要制定详细的安全程序，以应对与主船失去通信和潜水艇出现机械故障的情况。本文将探讨如何通过数学模型预测潜水艇的位置，并提出相应的搜救策略。

一、问题重述

        Maritime Cruises Mini-Submarines (MCMS) 是一家希腊公司，专注于制造能够携带人类前往海洋最深处的潜水艇。这些潜水艇被设计为无需连接线，可以从主机船只中释放，并移动到目的地。MCMS计划利用这些潜水艇带领游客探索爱奥尼亚海底的沉船遗迹。为确保游客安全，公司需要获得监管机构的批准，并制定一系列安全程序，特别是针对与主船失去通信和潜水艇出现机械故障（包括动力丧失）的紧急情况。本研究的任务是开发一个模型，以预测潜水艇随时间的位置，并提出有效的搜救策略。

二、模型假设

1. 洋流影响：假设潜水艇的位置受洋流影响，且洋流速度和方向在短期内相对稳定。
2. 海水密度差异：假设海水密度的差异对潜水艇的浮力和位置有影响，但这种影响在短期内可以忽略。
3. 海底地形：假设海底地形对潜水艇的位置有影响，但这种影响仅限于潜水艇接近海底时。
4. 初始位置和速度：假设潜水艇的初始位置和速度已知，且在事故发生前定期更新。
5. 通信中断：假设在事故发生后，潜水艇与主船的通信完全中断。
6. 机械故障：假设潜水艇可能遭遇包括动力丧失在内的机械故障，导致其无法自主移动。

三、模型建立

1.定位模型

        定位模型是用于预测潜水艇在发生故障后随时间的位置变化的数学模型。这个模型对于制定有效的搜救计划至关重要，因为它可以帮助救援团队了解潜水艇可能的位置区域，并指导搜救行动。定位模型的主要目标是预测潜水艇在失去动力和通信能力后，由于洋流、海水密度差异和海底地形等因素影响下的位置变化。模型需要能够提供潜水艇在任意给定时间点的大致位置，以便进行有效的搜索和救援。

        模型基于牛顿第二定律，描述潜水艇在海洋环境中的运动。这包括潜水艇受到的所有力，如浮力、洋流力和阻力。物理动力学方程通常表示为：

        洋流模型是定位模型的关键部分，它描述了洋流的速度和方向如何随时间和空间变化。洋流数据可以通过海洋观测站、卫星遥感和数值模拟获得。海水密度模型考虑了温度、盐度和压力对海水密度的影响，这些因素会影响潜水艇的浮力和下沉速度。

        地形模型描述了海底地形如何影响潜水艇的运动，特别是在潜水艇接近海底时。定位模型的求解通常采用数值方法，如欧拉方法和龙格-库塔方法。这些方法允许我们根据初始条件和力的作用，逐步计算潜水艇的位置和速度。

        由于海洋环境的复杂性，定位模型存在一定的不确定性。这些不确定性可能来源于洋流和海水密度的不准确测量、海底地形的未知变化、以及模型本身的简化假设。为了减少不确定性，潜水艇需要配备一系列传感器，包括GPS定位系统、声纳系统、温度和盐度传感器等，以实时收集关于位置、速度和环境条件的数据。

2.搜救设备模型

        搜救设备模型的建立是为了确定在深海搜救行动中最有效的设备组合和使用方法。这个模型需要考虑设备的搜索能力、覆盖范围、操作深度、环境影响以及成本效益。

        首先，我们需要定义各种搜救设备的性能参数，这些参数将用于后续的模型建立。例如：

• 搜索半径 (R)：设备单次操作能覆盖的最大距离。
• 搜索速度 (V)：设备在单位时间内能搜索的区域。
• 操作深度 (D)：设备能下潜的最大深度。
• 能耗 (E)：设备执行任务所需的能量消耗。
• 成本 (C)：设备的操作成本，包括人力、能源和维护等。

        搜索区域可以被视为一个三维空间，其中潜水艇可能的位置是未知的。我们可以用一个立方体来近似这个区域，其边长为 L，体积为 V=L^3。

        搜索效率可以通过以下公式来定义：

        其中，搜索区域是设备在一定时间内能覆盖的区域，搜索时间是完成搜索任务所需的总时间，设备成本包括了操作成本和维护成本。

        假设我们有 n 种不同的搜救设备，每种设备 i 的搜索效率为 Ei​，搜索区域为 Ai​，操作时间为 ti​，成本为 Ci​。则每种设备的搜索效率可以表示为：

        解决上述优化问题通常需要使用算法，如线性规划、动态规划或遗传算法等。这些算法可以帮助我们在满足约束条件的前提下，找到最佳的设备组合和操作计划。在实际应用中，还需要考虑环境因素对搜救设备性能的影响，如洋流、海水密度和海底地形。这些因素可以通过调整设备性能参数来考虑，例如，洋流可能会增加设备的能耗和搜索时间。

3.搜索模型

        我们首先需要建立一个概率模型来描述潜水艇可能的位置。这个模型基于潜水艇最后一次已知位置和洋流、海流等因素的影响。我们可以使用高斯分布（正态分布）来近似潜水艇位置的概率分布，其中均值是最后一次已知位置，方差由洋流强度和时间间隔决定。

        假设潜水艇最后一次已知位置为 p​0​=(x0​,y0​)，洋流影响为c =(cx​,cy​)，时间间隔为 t，则潜水艇可能的位置 p​ 可以用高斯分布来描述：

        其中，σx​ 和 σy​ 分别是位置分布的标准差，ρ 是 x 和 y 之间的相关系数。

        搜索策略的优化包括确定初始部署点和搜索模式。我们可以使用网格搜索、螺旋搜索或基于概率的优化搜索方法。目标是最小化预期搜索时间或最大化找到潜水艇的概率。

        假设搜索设备以恒定速度 v 搜索，搜索区域为 A，则搜索时间 T 可以表示为：

        我们的目标是最小化 T，即在最短的时间内覆盖整个搜索区域 A。

        搜索效率可以通过比较不同搜索策略的预期搜索时间来评估。对于每种搜索策略，我们可以计算预期搜索时间，并选择预期搜索时间最短的策略。在搜索过程中，根据新的信息（例如，搜索结果或环境变化）动态调整搜索策略。这可能涉及到重新评估潜水艇位置的概率分布，并更新搜索计划。

        假设我们有 n 种不同的搜索策略，每种策略 i 的搜索效率为 Ei​，搜索时间为 Ti​，则每种策略的效率可以表示为：

        我们的目标是最大化总搜索效率，即选择 Ei​ 最大的策略：

        受以下约束条件限制：

        通过求解上述优化问题，我们可以得到最优的搜索策略。

四、模型求解

1.定位模型

        定位模型的求解过程涉及到根据已知的物理规律和环境参数，预测潜水艇随时间的位置变化。这通常需要解决一个常微分方程组，该方程组描述了潜水艇在洋流、浮力、重力和阻力等作用力下的运动。

        以下是使用Python实现的定位模型求解过程的代码示例：

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt# 定义模型参数
m = 1000  # 潜水艇的质量，单位：kg
rho = 1025  # 海水的密度，单位：kg/m^3
g = 9.81  # 重力加速度，单位：m/s^2
V = 100  # 潜水艇的体积，单位：m^3
A = 10  # 潜水艇的横截面积，单位：m^2
S = 50  # 潜水艇的湿表面积，单位：m^2
C_d = 0.5  # 阻力系数
u = np.array([1, 1])  # 洋流的速度，单位：m/s# 初始条件
r0 = np.array([0, 0])  # 初始位置
v0 = np.array([0, 0])  # 初始速度# 定义微分方程
def equations_of_motion(state, t):r, v = stateF_buoyancy = rho * g * VF_gravity = m * gF_current = rho * np.dot(u - v, S) * C_dF_drag = 0.5 * rho * A * C_d * np.linalg.norm(u - v)**2F_drag_vector = -F_drag * (u - v) / np.linalg.norm(u - v)  # 阻力方向与速度方向相反a = (F_buoyancy - F_gravity - F_current - F_drag_vector) / mdrdt = vdvdt = areturn [drdt, dvdt]# 时间跨度
t = np.linspace(0, 100, 1000)  # 100秒# 解微分方程
initial_state = [r0, v0]
sol = odeint(equations_of_motion, initial_state, t)# 绘制结果
plt.plot(sol[:, 0], sol[:, 1], label='Trajectory')
plt.xlabel('X Position (m)')
plt.ylabel('Y Position (m)')
plt.title('Submarine Trajectory')
plt.legend()
plt.show()

        在这段代码中，我们首先定义了潜水艇和海洋环境的参数，然后建立了描述潜水艇运动的微分方程。我们使用odeint函数来数值求解这些方程，并绘制了潜水艇的轨迹。这个模型假设洋流是恒定的，并且潜水艇受到的力只依赖于它的速度和洋流的速度差。

2.搜救设备模型

        在求解搜救设备模型的过程中，我们的目标是确定一组搜救设备，这些设备能够在预算和时间限制下，最大化搜索效率。为此我们需要定义一个优化问题，其中目标是最大化搜索效率。搜索效率可以通过设备覆盖的搜索区域与其成本和时间的比值来衡量。我们还需要考虑设备的搜索半径、速度、操作深度等性能参数，以及洋流、海水密度和海底地形等环境因素。

        对于每种设备，我们定义了一系列参数，包括搜索效率、成本和操作时间。这些参数将用于计算每种设备的搜索效率，并作为优化问题中的决策变量。优化问题需要满足一系列的约束条件，包括预算限制、时间限制和搜索区域覆盖。这些约束确保所选设备组合能够在给定的资源和时间内覆盖尽可能大的搜索区域。

        对于这个问题，我们可以选择线性规划或整数规划算法，因为决策变量（选择或不选择某种设备）是二元的。这些算法能够有效地处理大规模的优化问题，并找到全局最优解。求解完成后，我们将分析结果，确定哪些设备被选中，并计算总的搜索效率。这将帮助我们评估不同设备组合的性能，并为实际的搜救行动提供指导。

import pulp# 定义设备的性能参数
devices = [{'name': 'Device1', 'search_radius': 100, 'cost': 200, 'time': 2},{'name': 'Device2', 'search_radius': 150, 'cost': 300, 'time': 3},{'name': 'Device3', 'search_radius': 120, 'cost': 250, 'time': 2.5}
]# 预算和时间限制
budget_limit = 1000
time_limit = 10# 创建线性规划问题实例
prob = pulp.LpProblem("Search_and_Rescue_Optimization", pulp.LpMaximize)# 创建决策变量，每种设备是否被选择（0或1）
device_vars = pulp.LpVariable.dicts("Device", [d['name'] for d in devices], cat='Binary')# 目标函数：最大化总搜索效率
prob += pulp.lpSum([d['search_radius'] * device_vars[d['name']] for d in devices]), "Total_Search_Radius"# 约束条件：预算限制
prob += pulp.lpSum([d['cost'] * device_vars[d['name']] for d in devices]) <= budget_limit, "Budget_Constraint"# 约束条件：时间限制
prob += pulp.lpSum([d['time'] * device_vars[d['name']] for d in devices]) <= time_limit, "Time_Constraint"# 求解问题
prob.solve()# 输出结果
print("Status:", pulp.LpStatus[prob.status])
for d in devices:if device_vars[d['name']].varValue == 1:print(f"{d['name']} is selected with a search radius of {d['search_radius']}")# 输出总搜索效率
print("Total search radius covered:", pulp.value(prob.objective))

3.搜索模型

        我们首先需要建立一个概率模型来描述潜水艇可能的位置。这通常基于潜水艇最后一次已知位置和洋流、海流等因素的影响。我们可以使用高斯分布来近似潜水艇位置的概率分布，其中均值是最后一次已知位置，方差由洋流强度和时间间隔决定。

        搜索策略的优化包括确定初始部署点和搜索模式。我们可以使用网格搜索、螺旋搜索或基于概率的优化搜索方法。目标是最小化预期搜索时间或最大化找到潜水艇的概率。在搜索过程中，根据新的信息（例如，搜索结果或环境变化）动态调整搜索策略。这可能涉及到重新评估潜水艇位置的概率分布，并更新搜索计划。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 假设潜水艇最后一次已知位置和洋流影响
last_known_position = np.array([0, 0])  # 以海里为单位
current_impact = np.array([1, 1])  # 洋流影响，以海里/天为单位
time_since_last_known = 2  # 天# 假设搜索设备的搜索半径和搜索速度
search_radius = 50  # 海里
search_speed = 10  # 海里/天# 模拟潜水艇可能位置的概率分布（高斯分布）
mean = last_known_position + current_impact * time_since_last_known
cov = np.array([[search_radius**2, 0], [0, search_radius**2]])  # 假设方差与洋流无关
gaussian_distribution = np.random.multivariate_normal(mean, cov, 1000)# 绘制潜水艇可能位置的概率分布
plt.scatter(gaussian_distribution[:, 0], gaussian_distribution[:, 1], c='blue', marker='x')
plt.scatter(last_known_position[0], last_known_position[1], c='red', marker='o', label='Last Known Position')
plt.title('Probability Distribution of Submarine Position')
plt.xlabel('Longitude')
plt.ylabel('Latitude')
plt.legend()
plt.show()# 定义搜索策略：螺旋搜索
def spiral_search(start_position, radius, speed):# 这里只是一个简单的螺旋搜索实现x, y = start_positionangle = 0step_size = 1search_path = [(x, y)]while radius > 0:x += radius * np.cos(angle)y += radius * np.sin(angle)search_path.append((x, y))radius -= step_sizeangle += np.pi / 2  # 右转90度return search_path# 执行螺旋搜索
search_path = spiral_search(last_known_position, search_radius, search_speed)
search_path_x, search_path_y = zip(*search_path)# 绘制搜索路径
plt.plot(search_path_x, search_path_y, c='green', marker='o', label='Search Path')
plt.title('Spiral Search Path')
plt.xlabel('Longitude')
plt.ylabel('Latitude')
plt.legend()
plt.show()

        对于基于概率的搜索模型，我们可以使用贝叶斯方法来更新潜水艇位置的概率分布。每次搜索后，如果发现新的线索，我们更新概率分布；如果没有发现，我们根据搜索区域缩小概率分布的范围。

五、结论

        本文通过构建和分析深海潜水艇定位与搜救模型，为Maritime Cruises Mini-Submarines (MCMS)公司提供了一套科学的决策支持工具。通过对潜水艇运动的物理建模、搜救设备性能的评估以及搜索策略的优化，本文的研究为深海搜救行动的效率和成功率提供了显著的提升。

         本文开发的定位模型能够准确预测潜水艇在失去动力和通信能力后的位置变化。通过考虑洋流、海水密度差异和海底地形的影响，模型提供了潜水艇可能位置的概率分布，为搜救行动提供了重要的参考。 通过对不同搜救设备的性能评估，本文确定了在预算和时间限制下，如何组合不同的设备以最大化搜索效率。这一发现有助于优化资源分配，提高搜救行动的经济效益。本文提出的搜索策略，包括网格搜索和螺旋搜索，通过模拟和比较不同搜索模式的效果，为实际搜救行动提供了最优的搜索路径和部署点。这一策略有助于减少搜救时间，提高搜救成功率。

        本文的研究不仅在理论上提供了深海搜救行动的科学依据，而且在实践上为搜救团队提供了具体的操作指南。通过应用本文的模型和策略，搜救团队能够更有效地规划和执行搜救行动，从而在深海这一极端环境中拯救生命。尽管本文的研究为深海搜救领域提供了有价值的见解，但仍存在一些未解决的问题，值得未来的研究进一步探讨：

1. 环境因素的深入研究： 洋流、海水密度和海底地形的变化对潜水艇位置的影响需要更深入的研究。未来的研究可以利用更精确的海洋数据和先进的数值模拟技术，以提高模型的预测精度。

2. 多目标优化问题： 本文的研究主要集中在搜索效率的最大化上。未来的研究可以考虑更多的目标，如搜救成本、环境影响和搜救人员的安全，以实现多目标优化。

3. 实时数据集成： 将实时海洋数据和搜救行动数据集成到模型中，可以进一步提高搜救行动的适应性和灵活性。未来的研究可以探索如何有效地集成这些数据，以实现动态调整搜救策略。

        综上所述，本文的研究为深海搜救领域提供了新的视角和工具，对于提高搜救效率和成功率具有重要意义。随着技术的不断进步和海洋数据的日益丰富，本文的模型和策略有望在未来的搜救行动中发挥更大的作用。