算法模板1：排序+二分+高精度+前缀+差分

之前整理了好多算法模板，打算整理一下。
刚好可以打印出来，带板子比赛[]_(￣▽￣)*

1.1 排序

STL sort函数

sort(arr, arr + n); // 对 arr[0] 到 arr[n-1] 排序，默认升序
sort(arr, arr + n, greater<int>());  // 降序排序sort(nodes.begin(), nodes.end()); //容器用迭代器排序//cmp函数
bool cmp(int a, int b) {return a > b; // 降序：a 在 b 前
}
sort(arr, arr + n, cmp);//lambda
sort(arr, arr + n, [](int a, int b) {return a > b; // 降序
});

快速排序算法模板

void quick_sort(int q[], int l, int r)
{if (l >= r) return;int i = l - 1, j = r + 1, x = q[l + r >> 1];while (i < j){do i ++ ; while (q[i] < x);do j -- ; while (q[j] > x);if (i < j) swap(q[i], q[j]);}quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r);
}

归并排序算法模板

void merge_sort(int q[], int l, int r)
{if (l >= r) return;int mid = l + r >> 1;merge_sort(q, l, mid);merge_sort(q, mid + 1, r);int k = 0, i = l, j = mid + 1;while (i <= mid && j <= r)if (q[i] <= q[j]) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];else tmp[k ++ ] = q[j ++ ];while (i <= mid) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];while (j <= r) tmp[k ++ ] = q[j ++ ];for (i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++ ) q[i] = tmp[j];
}

1.2 二分

整数二分算法模板

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质// 右偏
int bsearch_1(int l, int r)
{while (l < r){int mid = l + r >> 1;if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质else l = mid + 1;}return l;
}
// 左偏
int bsearch_2(int l, int r)
{while (l < r){int mid = l + r + 1 >> 1;if (check(mid)) l = mid;else r = mid - 1;}return l;
}

浮点数二分算法模板

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质double bsearch_3(double l, double r)
{const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求while (r - l > eps){double mid = (l + r) / 2;if (check(mid)) r = mid;else l = mid;}return l;
}

1.3 高精度

高精度加法

// C = A + B, A >= 0, B >= 0
vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)
{if (A.size() < B.size()) return add(B, A);vector<int> C;int t = 0;for (int i = 0; i < A.size(); i ++ ){t += A[i];if (i < B.size()) t += B[i];C.push_back(t % 10);t /= 10;}if (t) C.push_back(t);return C;
}

高精度减法

// C = A - B, 满足A >= B, A >= 0, B >= 0
vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B)
{vector<int> C;for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i ++ ){t = A[i] - t;if (i < B.size()) t -= B[i];C.push_back((t + 10) % 10);if (t < 0) t = 1;else t = 0;}while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();return C;
}

高精度乘低精度

// C = A * b, A >= 0, b >= 0
vector<int> mul(vector<int> &A, int b)
{vector<int> C;int t = 0;for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++ ){if (i < A.size()) t += A[i] * b;C.push_back(t % 10);t /= 10;}while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();return C;
}

高精度除以低精度

// A / b = C ... r, A >= 0, b > 0
vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r)
{vector<int> C;r = 0;for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- ){r = r * 10 + A[i];C.push_back(r / b);r %= b;}reverse(C.begin(), C.end());while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();return C;
}

1.4 前缀和与差分

• 前缀和：用于查询为主，适合固定子区间的快速统计。
• 差分：用于修改为主，适合频繁的区间修改操作。
• 二维场景扩展了思路，可以解决棋盘、地图、图像等多维数据的问题，是动态规划和模拟算法中的重要工具。

一维前缀和

核心思想：快速求任意子区间的元素和。

• 应用场景

  1. 求区间和：如数组中某段区间的累积和，快速查询多个子区间。
  2. 特定条件下的子数组统计：如统计满足某和的子数组个数、等差数列的前缀统计等。
  3. 优化暴力循环：在滑动窗口、双指针结合场景下减少重复计算。
  4. 动态和的判断：如 LeetCode 560 的“和为 K 的子数组”。

S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]
a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]

二维前缀和

核心思想：快速求任意矩形区域的元素和。

• 应用场景

  1. 矩形区域查询：如地图/棋盘中矩形区域的累积值，快速实现范围统计。
  2. 统计二维频率矩阵：如统计某字符矩阵内某个字符出现次数。
  3. 处理图像/像素值矩阵：如积分图的计算，用于快速处理图像区域的统计。
  4. 最大子矩阵和：如求二维数组的子矩阵的最大和，或固定形状的区域统计。

S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]

一维差分

核心思想：高效处理多次区间修改操作，最终还原原数组。

• 应用场景

  1. 区间增减问题：如“给区间加上固定值”、“统计区间操作后某值出现的频次”。
  2. 区间频次统计：如单点操作转换为区间统计，模拟更新效果。
  3. 物理量累积模拟：如力的分布计算，能量在区间上的增减。
  4. 效率优化：从 O(n⋅q)O(n \cdot q) 提升到 O(n+q)O(n + q)，如对一个数组进行大量区间修改的场景。

给区间[l, r]中的每个数加上c：B[l] += c, B[r + 1] -= c

二维差分

核心思想：高效处理多次矩形区域修改操作，最终还原 原矩阵。

• 应用场景

  1. 矩形区域增减问题：如在二维数组的某矩形区域内统一加减一个数。
  2. 累计影响模拟：如模拟一个范围的热量扩散、光照叠加。
  3. 频次矩阵构建：如对二维频次表进行增量操作，快速得到最终统计值。
  4. 动态二维修改问题：如棋盘状态更新，积木或区域重叠分析。

给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c：
S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c