2012年西部数学奥林匹克试题(几何)
2012/G1

△ A B C \triangle ABC △ABC 内有一点 P P P, P P P 在 A B AB AB, A C AC AC 上的投影分别为 E E E, F F F, 射线 B P BP BP, C P CP CP 分别交 △ A B C \triangle ABC △ABC 的外接圆于点 M M M, N N N. r r r 为 △ A B C \triangle ABC △ABC 的内切圆半径, R R R 为 △ A B C \triangle ABC △ABC 的外接圆半径. 求证: E F / M N ≥ r / R EF/MN \geq r/R EF/MN≥r/R.
证明: 设 P P P 在 B C BC BC 上的投影为点 D D D.设 S S S 为 S △ A B C S_{\triangle ABC} S△ABC. 延长 A P AP AP 交 ( A B C ) (ABC) (ABC) 于点 L L L.

当 P P P 位于内心 I I I 时, 易证明 E F EF EF 在 ( A B C ) (ABC) (ABC) 中, M N MN MN 在 ⨀ I \bigodot I ⨀I 中所对的圆周角 (锐角) 大小都为 π / 2 − A / 2 \pi/2-A/2 π/2−A/2. 此时 E F / M N = r / R EF/MN=r/R EF/MN=r/R.

下证当 P P P 不位于内心位置时, E F / M N > r / R EF/MN>r/R EF/MN>r/R.
△ L M N ∼ △ D E F \triangle LMN \sim \triangle DEF △LMN∼△DEF (证明略), 进而 E F / M N = r ′ / R EF/MN=r'/R EF/MN=r′/R. ( r ′ r' r′ 为 ( D E F ) (DEF) (DEF) 的半径), 要证明 E F / M N > r / R EF/MN>r/R EF/MN>r/R, 只需证明 r ′ > r r'>r r′>r.

设 △ D E F \triangle DEF △DEF 的外心为 O ′ O' O′.
S = S △ O ′ A B + S △ O ′ A C + S △ O ′ B C = 1 2 ( B C ⋅ d (
相关文章:
2012年西部数学奥林匹克试题(几何)
2012/G1 △ A B C \triangle ABC △ABC 内有一点 P P P, P P P 在 A B AB AB, A C AC AC 上的投影分别为 E E E, F F F, 射线 B P BP BP, C P CP CP 分别交 △ A B C \triangle ABC △ABC 的外接圆于点 M M M, N N N. r r r 为 △ A B C \triangle ABC △ABC 的内…...
8位移位寄存器的verilog语言
module shift_register (output reg [7:0] Q, // 8位移位寄存器输出input D, // 输入数据input rst, // 复位信号input clk // 时钟信号 );always (posedge clk) beginif (!rst)Q < 8b00000000; // 复位时将Q清零elseQ < {Q[6:0], D}; // 否则…...
【苍穹外卖】学习心得体会-随笔
前言 写了很久,终于可以完整运行项目了,记录下这几天的心得体会回顾一下知识点 第一天、Git 分布式版本控制工具 一、Git概述 定义:是分布式版本控制工具,用于管理软件开发中的源代码文件,像Java类、xml文件、html…...
MySQL学习之表的增删改
MySQL学习之表的增删改 语法总结: INSERT INTO 表名 (字段名1, 字段名2, ...) VALUES (值1, 值2, ...); //指定字段添加数据 INSERT INTO 表名 VALUES (值1, 值2, ...); //给全部字段添加数据 INSERT INTO 表名 VALUES (值1, 值2, ...), (值1, 值2, ...), (值1, …...
电脑excel词典(xllex.dll)文件丢失是或损坏是什么原因?“xllex.dll文件缺失“要怎么解决?
Excel词典(xllex.dll)文件丢失或损坏?别担心,这里有解决之道! 在日常的电脑使用和办公软件操作中,我们偶尔会碰到一些让人头疼的问题,比如Excel突然提示“Excel词典(xllex.dll&…...
【CSS in Depth 2 精译_084】第 14 章:CSS 蒙版、形状与剪切概述 + 14.1:CSS 滤镜
当前内容所在位置(可进入专栏查看其他译好的章节内容) 第四部分 视觉增强技术 ✔️【第 14 章 蒙版、形状与剪切】 ✔️ 14.1 滤镜 ✔️ 14.1.1 滤镜的类型 ✔️14.1.2 背景滤镜 ✔️ 14.2 蒙版 文章目录 第 14 章 蒙版、形状与剪切 Masks, shapes, and…...
gorm源码解析(四):事务,预编译
文章目录 前言事务自己控制事务用 Transaction方法包装事务 预编译事务结合预编译总结 前言 前几篇文章介绍gorm的整体设计,增删改查的具体实现流程。本文将聚焦与事务和预编译部分 事务 自己控制事务 用gorm框架,可以自己控制事务的Begin࿰…...
前端优雅(装逼)写法(updating····)
1.>>右位移运算符取整数 它将一个数字的二进制位向右移动指定的位数,并在左侧填充符号位(即负数用1填充,正数用0填充)。 比如 2.99934 >> 0:取整结果是2,此处取整并非四舍五入 2.99934 会先…...
黑马Java面试教程_P7_常见集合_P4_HashMap
系列博客目录 文章目录 系列博客目录4. HashMap相关面试题4.4 面试题-HashMap的put方法的具体流程 频54.4.1 hashMap常见属性4.4.2 源码分析 HashMap的构造函数面试文稿: 4.5 讲一讲HashMap的扩容机制 难3频4面试文稿: 4.6 面试题-hashMap的寻址算法 难4…...
使用 CFD 加强水资源管理:全面概述
探索 CFD(计算流体动力学)在增强保护人类健康的土木和水利工程实践方面的重大贡献。 挑战 水资源管理是指规划、开发、分配和管理水资源最佳利用的做法。它包括广泛的活动,旨在确保水得到有效和可持续的利用,以满足各种需求&…...
XXE练习
pikachu-XXE靶场 1.POC:攻击测试 <?xml version"1.0"?> <!DOCTYPE foo [ <!ENTITY xxe "a">]> <foo>&xxe;</foo> 2.EXP:查看文件 <?xml version"1.0"?> <!DOCTYPE foo [ <!ENTITY xxe SY…...
R语言读取hallmarks的gmt文档的不同姿势整理
不同格式各有所用 1.读取数据框格式的 hallmarks <- clusterProfiler::read.gmt("~/genelist/h.all.v7.4.symbols.gmt") #返回的是表格 hallmarks$term<- gsub(HALLMARK_,"",hallmarks$term)适配Y叔的clusterProfiler的后续分析,比如整理后geneli…...
【Nginx-4】Nginx负载均衡策略详解
在现代Web应用中,随着用户访问量的增加,单台服务器往往难以承受巨大的流量压力。为了解决这一问题,负载均衡技术应运而生。Nginx作为一款高性能的Web服务器和反向代理服务器,提供了多种负载均衡策略,能够有效地将请求分…...
Python 的 Decimal的错误计算
摘要 阐述在使用 Python的 Decimal类时,可能产生的错误计算。 在 详述 BigDecimal 的错误计算 中,笔者较为详细地说明了 Java的 BigDecimal可能出错的原因。类似地,Python的 decimal模块中有个 Decimal类,也可用于高精度的十进制…...
【韩顺平 Java满汉楼项目 控制台版】MySQL+JDBC+druid
文章目录 功能界面用户登录界面显示餐桌状态预定显示所有菜品点餐查看账单结账退出满汉楼 程序框架图项目依赖项目结构方法调用图功能实现登录显示餐桌状态订座显示所有菜品点餐查看账单结账退出满汉楼 扩展思考多表查询如果将来字段越来越多怎么办? 员工信息字段可…...
【HAL库】STM32CubeMX开发----STM32F407----Time定时器中断实验
STM32CubeMX 下载和安装 详细教程 【HAL库】STM32CubeMX开发----STM32F407----目录 前言 本次实验以 STM32F407VET6 芯片为MCU,使用 25MHz 外部时钟源。 实现定时器TIM3中断,每1s进一次中断。 定时器计算公式如下: arr 是自动装载值&#x…...
react18+ts 封装图表及词云组件
react18ts 封装图表及词云组件 1.下载依赖包 "echarts": "^5.5.1","echarts-for-react": "^3.0.2","echarts-wordcloud": "^2.1.0",2.创建目录结构 3.代码封装 ChartCard.tsx Wordcloud.tsx 4.调用 import Rea…...
图像根据mask拼接时,边缘有色差 解决
目录 渐变融合(Feathering) 沿着轮廓线模糊: 代码: 泊松融合 效果比较好: 效果图: 源代码: 泊松融合,mask不扩大试验 效果图: 源代码: 两个图像根据mask拼接时,边缘有色差 渐变融合(Feathering) import numpy as np import cv2# 假设 img1, img2 是两个…...
17、ConvMixer模型原理及其PyTorch逐行实现
文章目录 1. 重点2. 思维导图 1. 重点 patch embedding : 将图形分割成不重叠的块作为图片样本特征depth wise point wise new conv2d : 将传统的卷积转换成通道隔离卷积和像素空间隔离两个部分,在保证精度下降不多的情况下大大减少参数量 2. 思维导图 后续再整…...
Spring整合Redis基本操作步骤
Spring 整合 Redis 操作步骤总结 1. 添加依赖 首先,在 pom.xml 文件中添加必要的 Maven 依赖。Redis 相关的依赖包括 Spring Boot 的 Redis 启动器和 fastjson(如果需要使用 Fastjson 作为序列化工具): <!-- Spring Boot Re…...
eNSP-Cloud(实现本地电脑与eNSP内设备之间通信)
说明: 想象一下,你正在用eNSP搭建一个虚拟的网络世界,里面有虚拟的路由器、交换机、电脑(PC)等等。这些设备都在你的电脑里面“运行”,它们之间可以互相通信,就像一个封闭的小王国。 但是&#…...
设计模式和设计原则回顾
设计模式和设计原则回顾 23种设计模式是设计原则的完美体现,设计原则设计原则是设计模式的理论基石, 设计模式 在经典的设计模式分类中(如《设计模式:可复用面向对象软件的基础》一书中),总共有23种设计模式,分为三大类: 一、创建型模式(5种) 1. 单例模式(Sing…...
基于距离变化能量开销动态调整的WSN低功耗拓扑控制开销算法matlab仿真
目录 1.程序功能描述 2.测试软件版本以及运行结果展示 3.核心程序 4.算法仿真参数 5.算法理论概述 6.参考文献 7.完整程序 1.程序功能描述 通过动态调整节点通信的能量开销,平衡网络负载,延长WSN生命周期。具体通过建立基于距离的能量消耗模型&am…...
Qwen3-Embedding-0.6B深度解析:多语言语义检索的轻量级利器
第一章 引言:语义表示的新时代挑战与Qwen3的破局之路 1.1 文本嵌入的核心价值与技术演进 在人工智能领域,文本嵌入技术如同连接自然语言与机器理解的“神经突触”——它将人类语言转化为计算机可计算的语义向量,支撑着搜索引擎、推荐系统、…...
数据链路层的主要功能是什么
数据链路层(OSI模型第2层)的核心功能是在相邻网络节点(如交换机、主机)间提供可靠的数据帧传输服务,主要职责包括: 🔑 核心功能详解: 帧封装与解封装 封装: 将网络层下发…...
微服务商城-商品微服务
数据表 CREATE TABLE product (id bigint(20) UNSIGNED NOT NULL AUTO_INCREMENT COMMENT 商品id,cateid smallint(6) UNSIGNED NOT NULL DEFAULT 0 COMMENT 类别Id,name varchar(100) NOT NULL DEFAULT COMMENT 商品名称,subtitle varchar(200) NOT NULL DEFAULT COMMENT 商…...
DBAPI如何优雅的获取单条数据
API如何优雅的获取单条数据 案例一 对于查询类API,查询的是单条数据,比如根据主键ID查询用户信息,sql如下: select id, name, age from user where id #{id}API默认返回的数据格式是多条的,如下: {&qu…...
04-初识css
一、css样式引入 1.1.内部样式 <div style"width: 100px;"></div>1.2.外部样式 1.2.1.外部样式1 <style>.aa {width: 100px;} </style> <div class"aa"></div>1.2.2.外部样式2 <!-- rel内表面引入的是style样…...
Pinocchio 库详解及其在足式机器人上的应用
Pinocchio 库详解及其在足式机器人上的应用 Pinocchio (Pinocchio is not only a nose) 是一个开源的 C 库,专门用于快速计算机器人模型的正向运动学、逆向运动学、雅可比矩阵、动力学和动力学导数。它主要关注效率和准确性,并提供了一个通用的框架&…...
DingDing机器人群消息推送
文章目录 1 新建机器人2 API文档说明3 代码编写 1 新建机器人 点击群设置 下滑到群管理的机器人,点击进入 添加机器人 选择自定义Webhook服务 点击添加 设置安全设置,详见说明文档 成功后,记录Webhook 2 API文档说明 点击设置说明 查看自…...
