2012年西部数学奥林匹克试题(几何)

2012/G1

$△ABC$ 内有一点 $P$, $P$ 在 $AB$, $AC$ 上的投影分别为 $E$, $F$, 射线 $BP$, $CP$ 分别交 $△ABC$ 的外接圆于点 $M$, $N$. $r$ 为 $△ABC$ 的内切圆半径, $R$ 为 $△ABC$ 的外接圆半径. 求证: $EF/MN\ge r/R$.

证明: 设 $P$ 在 $BC$ 上的投影为点 $D$.设 $S$ 为 $S_{△ABC}$. 延长 $AP$ 交 $(ABC)$ 于点 $L$.

当 $P$ 位于内心 $I$ 时, 易证明 $EF$ 在 $(ABC)$ 中, $MN$ 在 $⨀I$ 中所对的圆周角 (锐角) 大小都为 $\pi /2-A/2$. 此时 $EF/MN=r/R$.

下证当 $P$ 不位于内心位置时, $EF/MN>r/R$.

$△LMN\sim △DEF$ (证明略), 进而 $EF/MN=r^{\prime }/R$. ($r^{\prime }$ 为 $(DEF)$ 的半径), 要证明 $EF/MN>r/R$, 只需证明 $r^{\prime }>r$.

设 $△DEF$ 的外心为 $O^{\prime }$.

S = S △ O ′ A B + S △ O ′ A C + S △ O ′ B C = 1 2 ( B C ⋅ d (