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2012年西部数学奥林匹克试题(几何)

2012/G1

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△ A B C \triangle ABC ABC 内有一点 P P P, P P P A B AB AB, A C AC AC 上的投影分别为 E E E, F F F, 射线 B P BP BP, C P CP CP 分别交 △ A B C \triangle ABC ABC 的外接圆于点 M M M, N N N. r r r △ A B C \triangle ABC ABC 的内切圆半径, R R R △ A B C \triangle ABC ABC 的外接圆半径. 求证: E F / M N ≥ r / R EF/MN \geq r/R EF/MNr/R.

证明: 设 P P P B C BC BC 上的投影为点 D D D.设 S S S S △ A B C S_{\triangle ABC} SABC. 延长 A P AP AP ( A B C ) (ABC) (ABC) 于点 L L L.

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P P P 位于内心 I I I 时, 易证明 E F EF EF ( A B C ) (ABC) (ABC) 中, M N MN MN ⨀ I \bigodot I I 中所对的圆周角 (锐角) 大小都为 π / 2 − A / 2 \pi/2-A/2 π/2A/2. 此时 E F / M N = r / R EF/MN=r/R EF/MN=r/R.

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下证当 P P P 不位于内心位置时, E F / M N > r / R EF/MN>r/R EF/MN>r/R.

△ L M N ∼ △ D E F \triangle LMN \sim \triangle DEF LMNDEF (证明略), 进而 E F / M N = r ′ / R EF/MN=r'/R EF/MN=r/R. ( r ′ r' r ( D E F ) (DEF) (DEF) 的半径), 要证明 E F / M N > r / R EF/MN>r/R EF/MN>r/R, 只需证明 r ′ > r r'>r r>r.

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△ D E F \triangle DEF DEF 的外心为 O ′ O' O.

S = S △ O ′ A B + S △ O ′ A C + S △ O ′ B C = 1 2 ( B C ⋅ d (

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