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20241230 基础数学-线性代数-（1）求解特征值（numpy, scipy）

news 2025/9/16 6:41:14

所有代码实现，基于教程中的理论通过python实现出来的。效率不高，但有代码可以看。

由于scipy/sckitlearn/sparkx 底层的实现都被封装了（小白兔水平有限，fortran代码实在没看懂）这里的实现至少可以和理论公式对应的上。

1. 求特征值和特征向量

这是后面解线性方程的基础。解方程及拆分过程依赖eigVal，eigVec，很重要。

基本的解析法很好理解，所有的教程都有介绍。但是工程实现numpy等都是用的其他数值求解方法，这里实验了QR方法（水平有限，是最基础的QR），证明QR方法不难实现，并且有更多方法优化可以提高QR的数值稳定性和收敛效率（水平有限，placeholder，given旋转等，未研究）。

解析解析数值
eigpolynomial*symmetric matrix
lanrange multiples 		*symmetric matrix
QR Iteration
算法det(A-lambda*E)=0

解lambda的n次方程, 对应每个eigval[*]解齐次方程。		基于对称矩阵转标准二次型原理，A= (PN...P1) D (P1.T ... PN.T)

eigVec=(PN...P1)
eigVal=D		1. 将A=QR，Q为规范正交矩阵，R为A在这个矩阵上的投影系数。
2. AK=RQ， 迭代k次，
Q.T A= R,
A1= Q.T A Q; 
...
Q1.T A1= R1;
A2= Q1.T A1 Q1 = Q1.T Q.T A Q Q1
...
AK = （QK.T ... Q.T） A （Q ... QK ）
//AK 就是特征值对角矩阵， Q...QK 就是特征向量
//AK为什么会收敛为对角矩阵，待研究//TODO

eigVec=(PN...P1)
eigVal=D
PYTHONE00_eigVal_by_polynomial.pyP00_lagrange_mul_resolver00.pyE01_eigVal_by_qr_mm.py

//*没有完全解决数值稳定性问题，devide0 等等；[URL]有大神写了QR算法文章，有更优的算法。

参考代码

​​​​​​参考代码： AITutorial02: AI初学，AI幼儿园练习



 

写在最后

* 线性代数理论及证明过程请参考教材。公式推理可以参考AI。感谢数学大师们。感谢《学兔兔》网。

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