2014年IMO第3题

在凸四边形 $ABCD$ 中, $\angle ABC=\angle ADC=\frac{\pi }{2}$, $H$ 为 $A$ 在 $BD$ 上的投影, 在边 $AB$ 上有一点 $S$, $\angle CHS-\angle CSB=\frac{\pi }{2}$, 在边 $AD$ 上有一点 $T$, $\angle CHT-\angle CTD=\frac{\pi }{2}$. 求证: $(SHT)$ 切 $BD$ 于点 $H$.

证明:

作过 $H$ 的 $HS$ 的垂线, 交 $BC$ 于点 $M$, 作过 $H$ 的 $HT$ 的垂线, 交 $DC$ 于点 $N$.

将 $\angle MHC$ 记为 $\angle 1$, 将 $\angle NHC$ 记为 $\angle 2$, 将 $\angle CAB$ 记为 $\alpha$, 将 $\angle CAD$ 记为 $\beta$.

延长 $CH$ 交 $ST$ 于点 $P$.

易知 $S$, $P$, $C$, $B$ 内接于以 $SC$ 为直径的圆, $T$, $P$, C C