多元统计分析练习题3

从总体 $A$ 和 $B$ 中分别抽取 $n=10$ 个样本

假设 $A,B$ 协方差矩阵相同，并且服从多元正态分布

计算得到的样本均值和样本离差阵分别为

$$\begin{gathered} {\overline{X}}_A=(1,2,3{)}^T,V_B=diag(1,1,1) \\ {\overline{X}}_B=(1.5,2.5,3.5{)}^T,V_B=diag(3,3,3) \end{gathered}$$

(1)检验 $B$ 总体的均值

$$\begin{gathered} H_0:{\mu }_B=(1.2,2.2,3.2{)}^T \\ {H}_1:{\mu }_B\ne (1.2,2.2,3.2{)}^T \end{gathered}$$

$$T^2=(n-1)n({\overline{X}}_B-{\mu }_B{)}^{\prime }{V}_B^{-1}({\overline{X}}_B-{\mu }_B)=8.1$$

根据 $F$ 分布和 $T^2$ 分布的关系

$$F=\frac{n-p}{(n-1)p}{T}^2=2.1\sim F(p,n-p)=F(3,7)$$

P { F > 2.1 } = 0.1887 > 0.05 P\{F>2.1\}=0.1887>0.05 P{F>2.1}=0.1887>0.05

故接受 $H_0$

(2)检验 $A$ 和 $B$ 的均值是否相等

$$\begin{gathered} H_0:{\mu }_A={\mu }_B \\ {H}_1:{\mu }_A\ne {\mu }_B \end{gathered}$$

$$T^2=\frac{n_1{n}_2}{n_1+n_2}({\overline{X}}_A-{\overline{X}}_B{)}^{\prime }(\frac{A_1+A_2}{n_1+n_2-2}{)}^{-1}({\overline{X}}_A-{\overline{X}}_B)=16.875$$

$$F=\frac{(n_1+n_2-2)-p+1}{(n_1+n_2-2)p}{T}^2=5\sim F(p,n_1+n_2-p-1)=F(3,16)$$

P { F > 5 } = 0.0124 < 0.05 P\{F>5\}=0.0124<0.05 P{F>5}=0.0124<0.05

故拒绝 $H_0$