《经典力学》笔记

直线运动

弹簧和简谐运动

$\overrightarrow{F_s}=-k\overrightarrow{x_1}$，弹簧的初始位置为原点，大小为$F_s=k(L-L_1)$。

$$\begin{gathered} F=-kx=ma=m\ddot{x} \\ m\ddot{x}+kx=0 \\ \ddot{x}+\frac{k}{m}x=0 \\ 设\omega =\sqrt{\frac{k}{m}},则\ddot{x}+{\omega }^{2}x=0 \end{gathered}$$
$\ddot{x}+{\omega }^{2}x=0$ 为简谐运动，求解出来的$x=Asin(\omega t+\phi )$
$$\begin{gathered} a=\frac{F}{m}=\frac{-kx}{m}=\frac{-k}{m}\cdot Asin(\omega t+\phi )(1) \\ a=\ddot{x}=-A\cdot {\omega }^2\cdot \sin (\omega t+\phi )(2) \\ 由(1)和(2)可得\omega =\sqrt{\frac{k}{m}} \end{gathered}$$

动能，势能，机械能

动能 $KE=\frac{1}{2}m{v}^2$

势能有重力势能和弹性势能，动能和势能之间可以互相转换，比如自由落体，就是重力势能转换为动能。

机械能由动能和重力势能组成。$ME=PE+KE$

动量

动量是物体在它的运动方向上保持运动的趋势。动量实际上是牛顿第一定律的推论。$P=mv=madt=Fdt$

动量守恒

系统不受外力作用，则系统的动量总是守恒。

比如，物体m由粒子构成，物体的动量为所有构成粒子的总动量，$mv=\sum m_i{v}_i=\sum m_i{a}_{i}dt=(\sum F_i)dt$，由牛顿第三定律，力的作用是相互的，粒子的合力$\sum F_i=0$，物体m的动量在不受外力的情况下为0。

机械能守恒

系统无外力做功，系统内只有保守力做功，则系统的机械能不变。

保守力(conservative force)：力所做的功跟移动路径无关，又称守恒力。重力是保守力，摩檫力是非保守力，从A到B，不同路径，摩擦力做的功不同。

弹性碰撞和非弹性碰撞

弹性碰撞的碰撞前和碰撞后机械能守恒，非弹性碰撞的碰撞前和碰撞后机械能不守恒。

对于弹性碰撞，已知$m_1,v_1,m_2,v_2$，求碰撞后的$v{}_1\prime ,v_2\prime$
$$\begin{gathered} 根据动量守恒m_1{v}_1+m_2{v}_2=m_1{v}_1\prime +m_2{v}_2\prime \\ 根据机械能守恒，假设没有势能转换\frac{1}{2}{m}_1{v}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_2^2=\frac{1}{2}{m}_1{v}_1{\prime }^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_2{\prime }^2 \\ 根据上面两式可以求解出v_1\prime ,v_2\prime \end{gathered}$$
对于非弹性碰撞，两个物体碰撞后合并成一个物体，可以根据动量守恒求解碰撞后的速度$m_1{v}_1+m_2{v}_2=(m_1+m_2)v$

冲量

作用在物体上的力在时间上的累积效果。冲量也是动量的变化量。

设物体的质量为m，碰撞前的速度为v₁，碰撞后的时间为v₂，碰撞的时间为dt，则
$$\begin{gathered} 动量的改变量为冲量J=m{v}_1-m{v}_2 \\ 碰撞时产生的力F=\frac{J}{dt} \end{gathered}$$

圆周运动

直线运动和圆周运动的对应关系
$$\begin{gathered} 质量m---转动惯量I \\ 速度v---角速度\omega \\ 加速度a---角加速度\alpha \\ 位移x=x_0+vt+\frac{1}{2}v{t}^2---角位移\theta ={\theta }_0+\omega t+\frac{1}{2}\alpha t^2 \\ 动量P=mv---角动量L=I\omega =R_c\times P \\ 动能KE=\frac{1}{2}m{v}^2---角动能KE=\frac{1}{2}I{\omega }^2 \end{gathered}$$

匀速圆周运动

转动惯量

物体对其旋转运动的惯性大小的度量。设一个物体绕质心$C$旋转，角速度为$\omega$，圆盘的质量为$M$，圆盘由无数个质点组成，每个质量的质量为$m_i(M=\sum m_i)$， 速度为$v_i$，离质心C的距离为$r_i$，则物体的动能为
$$K{E}_i=\frac{1}{2}{m}_i{v}_i^2=\frac{1}{2}{m}_i(\omega r_i{)}^2=\frac{1}{2}(m_i{r}_i^2){\omega }^2$$
其中质点的转动惯量就是 $I=m{r}^2$。物体的转动惯量就是所有质点的转动惯量的和$I_m={\sum }_i{m}_i{r}_i^2$

平行轴定理

从刚体通过质心的直轴（质心轴）的转动惯量，计算出刚体对平行于质心轴的另外一直轴的转动惯量。
$$I=I_0+M{d}^2$$
$I_0$为通过质心轴的转动惯量，M为刚体的质量，d为质心轴到另外一轴的距离。

推导：
$$\begin{gathered} I=\sum _i{m}_i(R+r_i{)}^2=R^2\sum _i{m}_i+\sum _i{m}_i{r}_i^2+2R\cdot \sum _i{m}_i{r}_i \\ \sum _i{m}_i=M;I_0=\sum _i{m}_i{r}_i^2 \\ I=M{R}^2+I_0+2R\cdot \sum _i{m}_i{r}_i \end{gathered}$$

ri为矢量，刚体的质量是均匀分布的，每个ri都有另外一个相反的ri与它对应，因此最后一项为0。

角动量

物体的位置矢量和动量相关的物理量。

角动量守恒

和动量守恒一样，在没有外力的情况下，系统内部的角动量是守恒的。

英语

• mechanics 机械学，力学

• momentum 动量§

• work 功(W)，也叫机械功

• velocity 速度，向量

• speed 速率，标量

• potential energy 势能(PE)

• kinetic energy 动能(KE)

• mechanical energy 机械能(ME)

• simple harmonic motion 简谐运动(SHM)

• impluse 冲量(J或Imp)

• moment of inertia 转动惯量(I)