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基于傅立叶神经网络(FNN)与物理信息神经网络(PINN)求解泊松方程(附Pytorch源代码)

基于傅立叶神经网络(FNN)与物理信息神经网络(PINN)求解泊松方程

一、引言

偏微分方程(Partial Differential Equation, PDE)在科学与工程领域有着广泛的应用。传统数值方法(如有限差分法、有限元法)在求解这类问题时,尽管已经非常成熟,但随着问题复杂度的增加,其计算成本也显著提高。近年来,深度学习技术的发展为偏微分方程的求解提供了新的思路。物理信息神经网络(Physics-Informed Neural Network, PINN)通过将偏微分方程的物理规律直接融入到神经网络的损失函数中,实现了对偏微分方程的直接求解。

在此基础上,傅立叶神经网络(Fourier Neural Network, FNN)利用傅立叶基函数增强了对周期性函数的表达能力,从而能够更高效地捕获偏微分方程解的频谱信息。本文结合 PINN 和 FNN 两种方法,通过 PyTorch 框架实现了对泊松方程的求解,并详细展示了实现过程及实验结果。

二、傅立叶神经网络(FNN)的构建

1. 网络结构设计

傅立叶神经网络的关键在于引入傅立叶基函数,通过频率参数

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