结合PDE反应扩散方程与物理信息神经网络（PINN）进行稀疏数据预测的技术方案

以下是一个结合PDE反应扩散方程与物理信息神经网络（PINN）进行稀疏数据预测的技术方案，包含完整数学推导、PyTorch/TensorFlow双框架实现代码及对比实验分析。

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基于PINN的反应扩散方程稀疏数据预测与大规模数据泛化能力研究

1. 问题定义与数学模型

1.1 反应扩散方程

考虑标准FitzHugh-Nagumo模型（FHN）：

\begin{cases}
\frac{\partial u}{\partial t} = D_u \nabla^2 u + u(1-u)(u-a) - v + k \\
\frac{\partial v}{\partial t} = D_v \nabla^2 v + \epsilon (\beta v - \gamma u + \delta)
\end{cases}

其中 u ( x