通俗易懂之线性回归时序预测PyTorch实践

线性回归（Linear Regression）是机器学习中最基本且广泛应用的算法之一。它不仅作为入门学习的经典案例，也是许多复杂模型的基础。本文将全面介绍线性回归的原理、应用，并通过一段PyTorch代码进行实践演示，帮助读者深入理解这一重要概念。

线性回归概述

线性回归是一种用于预测因变量（目标变量）与一个或多个自变量（特征变量）之间关系的统计方法。其目标是在数据点之间找到一条最佳拟合直线，使得预测值与实际值之间的误差最小。

基本形式：

• 简单线性回归：只有一个自变量。
• 多元线性回归：包含多个自变量。

本文将聚焦于简单线性回归，即仅考虑一个自变量的情况。

线性回归的数学原理

模型表达式

简单线性回归的模型表达式为：

$$y=wx+b$$

其中：

• $y$ 是预测值。
• $x$ 是输入特征。
• $w$ 是权重（斜率）。
• $b$ 是偏置（截距）。

损失函数

为了衡量模型预测值与实际值之间的差异，通常使用均方误差（Mean Squared Error, MSE）作为损失函数：

$$\text{Loss}=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^N(y_i^{\text{pred}}-y_i{)}^2$$

优化算法

线性回归常用的优化算法是梯度下降（Gradient Descent）。通过计算损失函数关于参数 $w$ 和 $b$ 的梯度，迭代更新参数以最小化损失。

更新规则如下：

$$w:=w-\eta \frac{\partial \text{Loss}}{\partial w}$$

$$b:=b-\eta \frac{\partial \text{Loss}}{\partial b}$$

其中 $\eta$ 是学习率。

应用场景

线性回归在多个领域有广泛应用，包括但不限于：

• 经济学：预测经济指标，如GDP、通货膨胀率等。
• 工程学：估计物理量之间的关系，如材料强度与应力。
• 医疗：预测疾病发展趋势，如体重增长与健康指标。
• 金融：股价预测、风险评估等。

PyTorch实现线性回归

接下来，我们将通过一段PyTorch代码实践线性回归，从数据生成、模型训练到可视化展示，全面演示线性回归的实现过程。代码参考《深度学习框架PyTorch入门与实践》一书的实现，为了感受线性回归的计算过程，代码并未直接调用python中已有的线性回归库。

代码解析

首先，我们导入必要的库并设置随机种子以确保结果可复现。

import torch as t
import matplotlib.pyplot as plt
from IPython import displayt.manual_seed(1000)

数据生成函数

定义一个函数 get_fake_data 来生成假数据，这些数据遵循线性关系 $y=2x+3$ 并添加了一定的噪声。

def get_fake_data(batch_size=8):x = t.randn(batch_size, 1, dtype=float) * 20  # 随机生成x，范围扩大到[-20, 20]y = x * 2 + (1 + t.randn(batch_size, 1, dtype=float)) * 3  # y = 2x + 3 + 噪声return x, y

调用该函数生成一批数据并进行可视化。

x, y = get_fake_data()plt.figure()
plt.scatter(x, y)
plt.show()

参数初始化

随机初始化权重 $w$ 和偏置 $b$，并设置学习率 $lr$。

# 随机初始化参数
w = t.rand(1, 1, requires_grad=True, dtype=float)
b = t.zeros(1, 1, requires_grad=True, dtype=float)lr = 0.00001

训练过程

通过1000次迭代，使用梯度下降法优化参数 $w$ 和 $b$。

for i in range(1000):x, y = get_fake_data()y_pred = x.mm(w) + b.expand_as(y)  # 预测值loss = 0.5 * (y_pred - y) ** 2  # 均方误差loss = loss.sum()loss.backward()  # 反向传播计算梯度# 更新参数w.data.sub_(lr * w.grad.data)b.data.sub_(lr * b.grad.data)# 梯度清零w.grad.data.zero_()b.grad.data.zero_()# 每100次迭代可视化一次结果if i % 100 == 0:display.clear_output(wait=True)x_plot = t.arange(0, 20, dtype=float).view(-1, 1)y_plot = x_plot.mm(w) + b.expand_as(x_plot)plt.plot(x_plot.data, y_plot.data, label='Fitting Line')x2, y2 = get_fake_data(batch_size=20)plt.scatter(x2, y2, color='red', label='Data Points')plt.xlim(0, 20)plt.ylim(0, 41)plt.legend()plt.show()plt.pause(0.5)

可视化与训练过程

训练过程中，每隔100次迭代，会清除之前的输出，绘制当前拟合的直线与新生成的数据点。随着训练的进行，拟合线将逐渐接近真实的线性关系 $y=2x+3$。

以下是训练过程中的可视化效果示例：

注：实际运行代码时，图像会动态更新，展示拟合过程。

代码关键点解析

1. 数据生成：

   • 使用 torch.randn 生成标准正态分布的随机数，并通过线性变换获取 x 和 y。
   • 添加噪声使模型更贴近真实场景。

2. 参数初始化：

   • w 随机初始化，b 初始化为零。
   • requires_grad=True 表示在反向传播时需要计算梯度。

3. 前向传播：

   • 计算预测值 y_pred = x.mm(w) + b.expand_as(y)。
   • 使用矩阵乘法 mm 实现线性变换。

4. 损失计算：

   • 采用均方误差损失函数。
   • loss.backward() 计算损失函数相对于参数的梯度。

5. 参数更新：

   • 使用学习率 lr 按梯度方向更新参数。
   • data.sub_ 进行原地更新，避免梯度计算图的干扰。

6. 梯度清零：

   • 每次参数更新后，需要清零梯度 w.grad.data.zero_() 和 b.grad.data.zero_()，以防止梯度累积。

7. 可视化：

   • 使用 matplotlib 绘制拟合线和数据点。
   • display.clear_output(wait=True) 清除之前的图像，避免图形堆积。
   • plt.pause(0.5) 控制图像更新速度。

总结

本文从线性回归的基本概念出发，详细介绍了其数学原理和应用场景，并通过一段PyTorch代码演示了线性回归模型的实现过程。从数据生成、参数初始化、模型训练到结果可视化，全面展示了线性回归的实际应用。通过这种实例讲解，读者不仅能够理解线性回归的理论基础，还能掌握其在深度学习框架中的具体实现方法。

线性回归作为机器学习的基础模型，虽然简单，但其思想却深刻影响着更加复杂的算法和模型。在实际应用中，理解并掌握线性回归对于进一步学习和开发更加复杂的机器学习模型具有重要意义。

---

如果这篇文章对你有一点点的帮助，欢迎点赞、关注、收藏、转发、评论哦！
我也会在微信公众号“智识小站”坚持分享更多内容，以期记录成长、普及技术、造福后来者！