独立同分布时,联合概率密度函数等于边缘概率密度函数乘积

在概率论中，独立同分布（i.i.d.）指的是多个随机变量既独立又服从相同的概率分布。对于一组随机变量 (X_1, X_2, \dots, X_n)，若它们是独立同分布的，那么它们的联合概率密度函数 (p(x_1, x_2, \dots, x_n)) 就可以表示为每个边缘概率密度的乘积。

具体来说，联合概率密度 (p(x_1, x_2, \dots, x_n)) 表示的是同时发生 (X_1 = x_1, X_2 = x_2, \dots, X_n = x_n) 这个事件的概率。对于独立的随机变量，它们的联合概率就是各个单独事件概率的乘积。

假设 (X_1, X_2, \dots, X_n) 是独立同分布的，且每个 (X_i) 的概率密度函数是 (p(x))，那么联合概率密度可以写为：
[
p(x_1, x_2, \dots, x_n) = p(x_1) \cdot p(x_2) \cdot \dots \cdot p(x_n)
]

原因：

1. 独立性：若两个随机变量 (X_1) 和 (X_2) 是独立的，则联合概率密度函数满足：
   [
   p(x_1, x_2) = p(x_1) \cdot p(x_2)
   ]
   这意味着一个随机变量的发生不影响另一个随机变量的发生。

2. 同分布：所有的 (X_1, X_2, \dots, X_n) 都服从相同的概率分布，因此每个边缘概率密度函数都是 (p(x))，即对于所有 (i)，都有 (p(x_i) = p(x))。

所以，综合以上两点，若 (X_1, X_2, \dots, X_n) 是独立同分布的，联合概率密度就等于每个边缘概率密度函数的乘积。

总结：

独立同分布的性质保证了随机变量之间的独立性，进而使得它们的联合概率密度函数可以分解为每个变量的边缘概率密度的乘积。