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论文阅读的附录(七):Understanding Diffusion Models: A Unified Perspective(二):公式46的推导

Understanding Diffusion Models: A Unified Perspective(二):公式46的推导

文章概括

引用:

@article{luo2022understanding,title={Understanding diffusion models: A unified perspective},author={Luo, Calvin},journal={arXiv preprint arXiv:2208.11970},year={2022}
}
Luo, C., 2022. Understanding diffusion models: A unified perspective. arXiv preprint arXiv:2208.11970.

原文: https://arxiv.org/abs/2208.11970
代码、数据和视频:https://arxiv.org/abs/2208.11970


文章解析原文:
论文笔记(六十三)Understanding Diffusion Models: A Unified Perspective(二)


要推导的公式

目标是推导公式:
q ( x t ∣ x t − 1 , x 0 ) = q ( x t − 1 ∣ x t , x 0 ) q ( x t ∣ x 0 ) q ( x t − 1 ∣ x 0 ) . (46) q(x_t|x_{t-1}, x_0) = \frac{q(x_{t-1}|x_t, x_0) q(x_t|x_0)}{q(x_{t-1}|x_0)}. \tag{46} q(xtxt1,x0)=q(xt1x0)q(xt1xt,x0)q(xtx0).(46)


1. 条件概率的定义

条件概率的基本定义为:
q ( A ∣ B ) = q ( A ∩ B ) q ( B ) , 其中  q ( B ) > 0. q(A|B) = \frac{q(A \cap B)}{q(B)}, \quad \text{其中 } q(B) > 0. q(AB)=q(B)q(AB),其中 q(B)>0.
对于多个条件的情况,比如 ( q(A|B, C) ),可以扩展为:
q ( A ∣ B , C ) = q ( A , B , C ) q ( B , C ) . q(A|B, C) = \frac{q(A, B, C)}{q(B, C)}. q(AB,C)=q(B,C)q(A,B,C).

在我们的目标公式中, q ( x t ∣ x t − 1 , x 0 ) q(x_t|x_{t-1}, x_0) q(xtxt1,x0) 表示在 x t − 1 x_{t-1} xt1 x 0 x_0 x0 已知的条件下, x t x_t xt 的分布。因此:
q ( x t ∣ x t − 1 , x 0 ) = q ( x t , x t − 1 , x 0 ) q ( x t − 1 , x 0 ) . (1) q(x_t|x_{t-1}, x_0) = \frac{q(x_t, x_{t-1}, x_0)}{q(x_{t-1}, x_0)}. \tag{1} q(xtxt1,x0)=q(xt1,x0)q(xt,xt1,x0).(1)


2. 联合分布的分解

我们需要分解联合分布 q ( x t , x t − 1 , x 0 ) q(x_t, x_{t-1}, x_0) q(xt,xt1,x0)。以下是基础逻辑:

2.1 联合分布的定义

联合分布 q ( x t , x t − 1 , x 0 ) q(x_t, x_{t-1}, x_0) q(xt,xt1,x0) 表示 x t , x t − 1 , x 0 x_t, x_{t-1}, x_0 xt,xt1,x0 同时发生的概率。根据 概率链式法则(Chain Rule of Probability),联合分布可以逐步分解为条件概率的乘积:
q ( x t , x t − 1 , x 0 ) = q ( x t − 1 ∣ x t , x 0 ) q ( x t ∣ x 0 ) . (2) q(x_t, x_{t-1}, x_0) = q(x_{t-1}|x_t, x_0) q(x_t|x_0). \tag{2} q(xt,xt1,x0)=q(xt1xt,x0)q(xtx0).(2)

这一步基于条件概率的定义:

  • q ( x t − 1 ∣ x t , x 0 ) q(x_{t-1}|x_t, x_0) q(xt1xt,x0):在 x t x_t xt x 0 x_0 x0 已知的条件下, x t − 1 x_{t-1} xt1 的分布。
  • q ( x t ∣ x 0 ) q(x_t|x_0) q(xtx0):在 x 0 x_0 x0 已知的情况下, x t x_t xt 的边际分布。

2.2 为什么可以这样分解?

根据概率论的链式规则:
q ( A , B , C ) = q ( A ∣ B , C ) q ( B , C ) . q(A, B, C) = q(A|B, C) q(B, C). q(A,B,C)=q(AB,C)q(B,C).
在这里,设 A = x t − 1 A = x_{t-1} A=xt1 B = x t B = x_t B=xt C = x 0 C = x_0 C=x0,我们可以写成:
q ( x t − 1 , x t , x 0 ) = q ( x t − 1 ∣ x t , x 0 ) q ( x t , x 0 ) . q(x_{t-1}, x_t, x_0) = q(x_{t-1}|x_t, x_0) q(x_t, x_0). q(xt1,xt,x0)=q(xt1xt,x0)q(xt,x0).

接着,再对 q ( x t , x 0 ) q(x_t, x_0) q(xt,x0) 应用链式规则:
q ( x t , x 0 ) = q ( x t ∣ x 0 ) q ( x 0 ) . q(x_t, x_0) = q(x_t|x_0) q(x_0). q(xt,x0)=q(xtx0)q(x0).

因此:
q ( x t − 1 , x t , x 0 ) = q ( x t − 1 ∣ x t , x 0 ) q ( x t ∣ x 0 ) q ( x 0 ) . q(x_{t-1}, x_t, x_0) = q(x_{t-1}|x_t, x_0) q(x_t|x_0) q(x_0). q(xt1,xt,x0)=q(xt1xt,x0)q(xtx0)q(x0).

在本问题中, q ( x 0 ) q(x_0) q(x0) 是常量,不影响条件概率的形式,所以我们可以简化为:
q ( x t , x t − 1 , x 0 ) = q ( x t − 1 ∣ x t , x 0 ) q ( x t ∣ x 0 ) . q(x_t, x_{t-1}, x_0) = q(x_{t-1}|x_t, x_0) q(x_t|x_0). q(xt,xt1,x0)=q(xt1xt,x0)q(xtx0).

2.3 具体意义

  • 分解的直观意义:假设我们已经知道 x t x_t xt 和全局变量 x 0 x_0 x0 的值,那么我们可以首先用 q ( x t − 1 ∣ x t , x 0 ) q(x_{t-1}|x_t, x_0) q(xt1xt,x0) 表示 x t − 1 x_{t-1} xt1 的条件概率,再用 q ( x t ∣ x 0 ) q(x_t|x_0) q(xtx0) 表示 x t x_t xt 的边际分布。

  • 为什么分解成这两项?

    • 这是因为 q ( x t ∣ x 0 ) q(x_t|x_0) q(xtx0) 表示的是全局信息(全局分布)。
    • q ( x t − 1 ∣ x t , x 0 ) q(x_{t-1}|x_t, x_0) q(xt1xt,x0) 捕捉的是局部的条件关系。

3. 分母的分解:边际化规则

分母 q ( x t − 1 , x 0 ) q(x_{t-1}, x_0) q(xt1,x0) x t − 1 x_{t-1} xt1 x 0 x_0 x0 的联合分布,可以通过边际化 x t x_t xt 得到:
q ( x t − 1 , x 0 ) = ∫ q ( x t , x t − 1 , x 0 ) d x t . (4) q(x_{t-1}, x_0) = \int q(x_t, x_{t-1}, x_0) dx_t. \tag{4} q(xt1,x0)=q(xt,xt1,x0)dxt.(4)

将公式 (2) 中的分解 q ( x t , x t − 1 , x 0 ) = q ( x t − 1 ∣ x t , x 0 ) q ( x t ∣ x 0 ) q(x_t, x_{t-1}, x_0) = q(x_{t-1}|x_t, x_0) q(x_t|x_0) q(xt,xt1,x0)=q(xt1xt,x0)q(xtx0) 代入公式 (4):
q ( x t − 1 , x 0 ) = ∫ q ( x t − 1 ∣ x t , x 0 ) q ( x t ∣ x 0 ) d x t . (5) q(x_{t-1}, x_0) = \int q(x_{t-1}|x_t, x_0) q(x_t|x_0) dx_t. \tag{5} q(xt1,x0)=q(xt1xt,x0)q(xtx0)dxt.(5)


4. 最终公式的推导

将公式 (5) 的分母代入公式 (3),得到:
q ( x t ∣ x t − 1 , x 0 ) = q ( x t − 1 ∣ x t , x 0 ) q ( x t ∣ x 0 ) ∫ q ( x t − 1 ∣ x t , x 0 ) q ( x t ∣ x 0 ) d x t . q(x_t|x_{t-1}, x_0) = \frac{q(x_{t-1}|x_t, x_0) q(x_t|x_0)}{\int q(x_{t-1}|x_t, x_0) q(x_t|x_0) dx_t}. q(xtxt1,x0)=q(xt1xt,x0)q(xtx0)dxtq(xt1xt,x0)q(xtx0).

现在,我们需要注意的是:

  1. 分子部分完全匹配公式 (46)。
  2. 分母部分的归一化形式也与公式 (46) 一致。

为了便于理解,分母中的积分项 ∫ q ( x t − 1 ∣ x t , x 0 ) q ( x t ∣ x 0 ) d x t \int q(x_{t-1}|x_t, x_0) q(x_t|x_0) dx_t q(xt1xt,x0)q(xtx0)dxt 在公式 (46) 中直接用 q ( x t − 1 ∣ x 0 ) q(x_{t-1}|x_0) q(xt1x0) 表示。


5. 为什么分母可以表示为 q ( x t − 1 ∣ x 0 ) q(x_{t-1}|x_0) q(xt1x0)

通过边际化定义:
q ( x t − 1 ∣ x 0 ) = ∫ q ( x t − 1 , x t ∣ x 0 ) d x t . q(x_{t-1}|x_0) = \int q(x_{t-1}, x_t|x_0) dx_t. q(xt1x0)=q(xt1,xtx0)dxt.

进一步分解 q ( x t − 1 , x t ∣ x 0 ) q(x_{t-1}, x_t|x_0) q(xt1,xtx0)
q ( x t − 1 , x t ∣ x 0 ) = q ( x t − 1 ∣ x t , x 0 ) q ( x t ∣ x 0 ) . q(x_{t-1}, x_t|x_0) = q(x_{t-1}|x_t, x_0) q(x_t|x_0). q(xt1,xtx0)=q(xt1xt,x0)q(xtx0).

1. 条件概率的链式规则

根据条件概率的定义,联合概率 q ( A , B ∣ C ) q(A, B|C) q(A,BC) 可以分解为: q ( A , B ∣ C ) = q ( A ∣ B , C ) q ( B ∣ C ) . q(A, B|C) = q(A|B, C) q(B|C). q(A,BC)=q(AB,C)q(BC).


符号解释:

  • q ( A , B ∣ C ) q(A, B|C) q(A,BC):表示在 C C C 已知的条件下,事件 A A A B B B 同时发生的概率。
  • q ( A ∣ B , C ) q(A|B, C) q(AB,C):表示在 B B B C C C 已知的条件下,事件 A A A 的条件概率。
  • q ( B ∣ C ) q(B|C) q(BC):表示在 C C C 已知的条件下,事件 B B B 的条件概率。

代入后得到:
q ( x t − 1 ∣ x 0 ) = ∫ q ( x t − 1 ∣ x t , x 0 ) q ( x t ∣ x 0 ) d x t . q(x_{t-1}|x_0) = \int q(x_{t-1}|x_t, x_0) q(x_t|x_0) dx_t. q(xt1x0)=q(xt1xt,x0)q(xtx0)dxt.

因此,分母 q ( x t − 1 ∣ x 0 ) q(x_{t-1}|x_0) q(xt1x0) 确实是公式 (46) 中的形式。


6. 公式 (46) 的最终形式

结合以上推导,公式 (46) 的最终形式是:
q ( x t ∣ x t − 1 , x 0 ) = q ( x t − 1 ∣ x t , x 0 ) q ( x t ∣ x 0 ) q ( x t − 1 ∣ x 0 ) . q(x_t|x_{t-1}, x_0) = \frac{q(x_{t-1}|x_t, x_0) q(x_t|x_0)}{q(x_{t-1}|x_0)}. q(xtxt1,x0)=q(xt1x0)q(xt1xt,x0)q(xtx0).


7. 逐步推导总结

  1. 从条件概率的定义出发
    q ( x t ∣ x t − 1 , x 0 ) = q ( x t , x t − 1 , x 0 ) q ( x t − 1 , x 0 ) . q(x_t|x_{t-1}, x_0) = \frac{q(x_t, x_{t-1}, x_0)}{q(x_{t-1}, x_0)}. q(xtxt1,x0)=q(xt1,x0)q(xt,xt1,x0).

  2. 联合分布的分解
    q ( x t , x t − 1 , x 0 ) = q ( x t − 1 ∣ x t , x 0 ) q ( x t ∣ x 0 ) . q(x_t, x_{t-1}, x_0) = q(x_{t-1}|x_t, x_0) q(x_t|x_0). q(xt,xt1,x0)=q(xt1xt,x0)q(xtx0).

  3. 分母的边际化
    q ( x t − 1 , x 0 ) = ∫ q ( x t − 1 ∣ x t , x 0 ) q ( x t ∣ x 0 ) d x t . q(x_{t-1}, x_0) = \int q(x_{t-1}|x_t, x_0) q(x_t|x_0) dx_t. q(xt1,x0)=q(xt1xt,x0)q(xtx0)dxt.

  4. 最终公式的组合
    q ( x t ∣ x t − 1 , x 0 ) = q ( x t − 1 ∣ x t , x 0 ) q ( x t ∣ x 0 ) q ( x t − 1 ∣ x 0 ) . q(x_t|x_{t-1}, x_0) = \frac{q(x_{t-1}|x_t, x_0) q(x_t|x_0)}{q(x_{t-1}|x_0)}. q(xtxt1,x0)=q(xt1x0)q(xt1xt,x0)q(xtx0).


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