数论问题76一一容斥原理

容斥原理是一种计数方法，用于计算多个集合的并集中元素的个数，以避免重复计算。以下是其基本内容及相关公式：

 

两个集合的容斥原理

 若有集合A和集合B，那么A与B的并集中元素的个数等于A集合元素个数加上B集合元素个数，再减去A与B交集的元素个数，即|AUB| = |A|+|B|-|A∧ B|。

 

例如，一个班级中喜欢数学的有30人，喜欢语文的有25人，既喜欢数学又喜欢语文的有10人。那么喜欢数学或语文的人数为30 + 25-10=45人。

 

三个集合的容斥原理

 对于集合A、B、C，它们的并集中元素个数公式为|AUBUC|=|A|+|B|+|C|-|A∧ B|-|A∧ C|-|B∧ C| + |A∧ B∧ C|。

 

例如，在某学校的社团活动中，参加音乐社团的有50人，参加绘画社团的有40人，参加体育社团的有35人。同时参加音乐和绘画社团的有15人，同时参加音乐和体育社团的有10人，同时参加绘画和体育社团的有8人，三个社团都参加的有3人。则参加社团的总人数为50+40 + 35-15-10-8+3=95人。

 

可以把容斥原理推广到一般情况(略)。

 

容斥原理在组合数学、概率论、数论等领域都有广泛应用，比如在计算排列组合问题中满足特定条件的排列数，或在概率计算中求多个事件至少发生一个的概率等。

 

下面介绍容斥原理在自然数集中的应用一一欧拉函数φ(n)。符号φ(n)表示n以内的与n互质的自然数个数。

如，求10以内的与10互质的自然数(除0外)。

过程:{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}。因为10=2X5，被2整除的自然数个数有10÷2=5，与2互质的自然数个数为10(1-1/2)=5。被5整除的自然数有10÷5=2个，与5互质的自然数个数有10(1-1/5)=8。所以，同时与2和5都互质的自然数个数有10(1~1/2)(1-1/5)=4。即φ(10)=4。

把φ(n)可以推广到任意连续的n个自然数中，计算结果与n以内的与n互质的自然数个数是相同的。如{8，9，10，11，12，13，14，15，16，17}，φ(1o)=4，即与10互质的数有9，11，13，17。

 

也可以把欧拉函数φ(n)推广到等差数列中，如奇数集A:{1，3，5，…，2n-1}。A中n个元素，与n互质的元素个数是φ(n)。

因为A中所有元素都与2互质，计算φ(n)时，先把n分解因数，化为质数幂之积的形式，由容斥原理再计算结果。如:φ(10)，A中10个元素与10互质的元素{1，3，7，9，11，13，17，19}，即φ(10)=10(1-1/5)=8。推广到任意连续的10个元素中，如(9，11，13，15，17，19，21，23，25，27}中与1θ互质的元素{9，11，13，17，19，21，23，27}，即φ(10)=10(1-1/5)=8。

进一步，把欧拉函数应用到素数的存在数域，孪生素数的存在数域，和哥德巴赫猜想的存在数域中，能给n以内的素数个数的近似函数表示式，孪生素数个数的近似函数表示式和2n表两个素数之和的哥德巴赫猜想的“1+1“个数表示式。具体介绍如下

 

①素数个数的表示式

数域A:{1，2，3，…，n，n+1，…，m}，其中，m=2x3x5…xp(连续素数之积)，p为素数，p^2≤n，那么，A中与m互质的数个数为φ(m)=(2-1)(3-1)(5-1)…(p-1)。设A(n)表示n以内的与m互质的数的个数，即A(n)表示了n以内的素数个数(包含1，但不包含2，3，…，p的个数。由于A(n)/n≈φ(m)/m，所以，

A(n)≈n(1-1/2)(1-1/3)…(1-1/p)。

②孪生素数的个数表示式

设数域B:{(-1，1)，(0，2)，(1，3)，…，(n-2，n)，…，(m-2，m)}，其中，m=2x3x5…xp(连续素数之积)，p为素数，p^2≤n，那么，B中与m互质的元素个数为φ(m)=(2-1)(3-2)(5-2)…(p-2)。设B(n)表示n以内的与m互质的元素的个数，即B(n)表示了n以内的孪生素数个数(包含(-1，1)个数，但不包含与2，3，…，p的互质的元素个数，意义:p与元素互质，指p与元素中的两个数都互质)。由于B(n)/n≈φ(m)/m，所以，

 

B(n)≈n(1-1/2)(1-2/3)…(1-2/p)。

 

③哥德巴赫猜想的“1+1"个数表示式

 

设数域C:{(1，2n-1)，(2，2n-2)，(3，2n-3)，…，(2n-n，n)，…，(m，2n-m)}，其中，m=2x3x5…xp(连续素数之积)，p为素数，p^2≤2n，那么，C中与m互质的元素个数为φ(m)=(2-1)(3-r2)(5-r3)…(p-rt)，其中，当p|2n时，rt=1；当p不整除2n时，rt=2。设C(2n)表示两素数之和的个数，但不包含p以内素数的“1+1″个数，，即C(2n)表示了C中n以内的(素数，素数)个数，包含(1，2n-1)为(1，素数)时的个数，但不包含与2，3，…，p的互质的元素个数(意义:p与元素互质，指p与元素中的两个数都互质)。由于C(2n)/n≈φ(m)/m，所以，

 

C(n)≈n(1-1/2)(1-r2/3)…(1-rt/p)。

 

欧拉函数还有许多应用，在筛除合数方面，应用欧拉函数，形成了固定的方法:欧拉函数筛法。欧拉函数筛法在筛取素数，孪生素数，哥德巴赫猜想的“1+1"方面，比埃氏筛法更为先进。如

100=1+99=2+98，筛去含2因子的和，得

100=1+99=3+97=5+95，再筛去含3因子的和，得

100=5+95=11+89=17+83=23+77=29+71，

筛去含5因子的和，得

100=11+89=17+83=23+77=29+71，

=41+59=47+53=53+47=59+41…，

筛去含7因子的和，得

100=11+89=17+83=29+71

=41+59=47+53。由于筛去100=3+97，于是

100=3+97=11+89=17+83=29+71

=41+59=47+53。

所以，100表两个素数之和的个数为6。(李扩继)