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反函数定义及其推导

文章目录

      • 定义
      • 存在条件
      • 举例说明
      • 总结

反函数是数学中一种特殊的函数,用于“逆转”另一个函数的映射关系。

定义

设有一个函数 f : X → Y f: X \to Y f:XY。如果存在一个函数 g : Y → X g: Y \to X g:YX,使得对于所有 x ∈ X x \in X xX y ∈ Y y \in Y yY 都满足下面两个条件:

  1. 左逆性质: g ( f ( x ) ) = x g(f(x)) = x g(f(x))=x (对于所有 x ∈ X x \in X xX
  2. 右逆性质: f ( g ( y ) ) = y f(g(y)) = y f(g(y))=y (对于所有 y ∈ Y y \in Y yY

那么函数 g g g 就称为函数 f f f 的反函数,记作 f − 1 f^{-1} f1

存在条件

反函数 f − 1 f^{-1} f1 存在的充分必要条件是函数 f f f 必须是一个双射(即既单射又满射):

  • 单射(一一对应):不同的 x x x 映射到不同的 y y y
  • 满射:函数 f f f 的值覆盖了整个 Y Y Y 集合。

如果 f f f 不是双射,那么反函数在严格意义上不存在。

举例说明

假设有函数 f ( x ) = 2 x + 3 f(x) = 2x + 3 f(x)=2x+3 ,它是双射(在实数集合上),那么可以求其反函数:

  1. 写出方程: y = 2 x + 3 y = 2x + 3 y=2x+3
  2. 解这个方程得到 x x x x = y − 3 2 x = \frac{y - 3}{2} x=2y3
  3. 因此, f − 1 ( y ) = y − 3 2 f^{-1}(y) = \frac{y - 3}{2} f1(y)=2y3 或记作 f − 1 ( x ) = x − 3 2 f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2} f1(x)=2x3

验证:

  • f ( f − 1 ( x ) ) = 2 ( x − 3 2 ) + 3 = x − 3 + 3 = x f(f^{-1}(x)) = 2\left(\frac{x - 3}{2}\right) + 3 = x - 3 + 3 = x f(f1(x))=2(2x3)+3=x3+3=x
  • f − 1 ( f ( x ) ) = ( 2 x + 3 ) − 3 2 = x f^{-1}(f(x)) = \frac{(2x + 3) - 3}{2} = x f1(f(x))=2(2x+3)3=x

这说明 f − 1 f^{-1} f1 确实是 f f f 的反函数。

总结

反函数的核心思想是将函数的映射过程反过来。对于每个 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x),反函数 f − 1 f^{-1} f1 能够唯一地将 y y y 映射回 x x x。这在解决方程、数据逆变换、以及其他许多数学和工程问题中都有广泛应用。

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