2.2 反向传播：神经网络如何“学习“？

一、神经网络就像小学生

想象一个刚学算术的小学生，老师每天布置练习题，学生根据例题尝试解题，老师批改后指出错误。神经网络的学习过程与此相似：

• 输入层：相当于练习题（如数字图片）
• 输出层：学生的答案（如识别数字是"3"）
• 损失函数：老师的批改（计算错误程度）
• 反向传播：学生根据错误调整计算步骤的过程

二、前向传播：先做一遍练习题

假设我们要识别数字"3"，神经网络的处理过程如下：

示例：

1输入层数据：[0.5, 0.8]  # 像素值
2权重参数：w1=0.3, w2=0.6, 偏置b=0.1
3
4# 隐藏层计算
5h = (0.5*0.3) + (0.8*0.6) + 0.1 = 0.73  
6激活值 = 1/(1+e^(-0.73)) ≈ 0.675  # Sigmoid函数
7
8# 输出层计算
9最终输出 = 0.675*0.4 + 0.2 = 0.47  # 假设目标值是0.8
10误差 = (0.8-0.47)^2 / 2 = 0.0545
11

此时网络认为图片有47%概率是"3"，但正确答案应该是80%1

三、反向传播：老师批改作业

反向传播就像老师用红笔标注错误步骤：

1. 计算总误差（老师打分）

使用均方误差公式：
总误差 = Σ(预测值 - 真实值)^2 / 2

2. 逆向追溯责任（找错误根源）

通过链式法则逐层计算各参数的责任比例：

预览

以输出层权重w5为例：

1误差对w5的梯度 = (预测值-真实值) * 激活输出 * 激活导数  
2              = (0.47-0.8) * 0.675 * 0.675*(1-0.675) ≈ -0.033
3

3. 调整参数（学生改正错误）

按梯度方向调整参数：

1新w5 = 原w5 - 学习率*梯度  
2     = 0.4 - 0.1*(-0.033) = 0.4033
3

参数调整幅度就像调音量：误差越大，调整幅度越大

四、生活中的反向传播

假设你调整咖啡配方：

1. 第一次：3g糖→太苦（误差大）
2. 反向分析：糖量影响最大
3. 第二次：5g糖→稍好（误差减小）
4. 继续调整奶量、咖啡粉...

经过多次调整，最终找到最佳配方——这就是神经网络的学习过程！

五、优化学习效率的三个技巧

1. 学习率：就像调整步伐大小

• • 太大容易错过最佳点（0.1是常用初始值）

1. 动量：像下坡时的惯性

• • 避免在局部最优处卡住

1. 批量训练：像同时批改多份作业

• • 更稳定地找到调整方向

六、核心公式总结

步骤	关键公式	类比
前向传播	a = σ(w*x + b)	做练习题
损失计算	L = ½Σ(y_true - y_pred)^2	计算错题数
反向传播	∂L/∂w = ∂L/∂a * ∂a/∂z * ∂z/∂w	分析错误原因
参数更新	w_new = w_old - η*∂L/∂w	调整学习方法

参考资料

1. 反向传播手推公式示例
2. 链式法则图解
3. 动量优化原理
4. 神经网络参数更新可视化
5. 5分钟-通俗易懂 - 神经网络 反向传播算法（手算）_哔哩哔哩_bilibili