分段线性插值

分段线性插值

分段线性插值，就是将插值点用折线段连接起来逼近f(x)。设已知节点$a=x_0<x_1<\cdot \cdot \cdot <x_n=b$上的函数值$f_0,f_1,...,f_n$，记$$\begin{gathered} h_k=x_{k+1}-x_k,h= \\ max{h}_k \end{gathered}$$。

称$I_h(x)$为分段线性插值函数，如果满足：

(1) 记$I_h(x)\in [a,b]$;

(2) $I_h(x_k)=f_k(k=0,1,...,n)$;

(3) $I_h(x)$在每个区间$[x_k,x_{k+1}]$上是线性函数，

则由定义，$I_h(x)$在每个小区间$[x_k,x_{k+1}]$上可表示为

$$I_h(x)=\frac{x-x_{k+1}}{x_k-x_{k+1}}{f}_k+\frac{x-x_k}{x_{k+1}-x_k}{f}_{k+1}(x_k\le x\le x_{k+1})$$

若用插值基函数表示，则I_h(x)在整个区间[a,b]上可表示为

$$I_h(x)=\sum _{j=0}^n{f}_j{l}_j(x)$$

其中基函数$l_j(x)$满足条件$l_j(x_k)={\delta }_{j}k(j,k=0,1,...,n)$。