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Python蓝桥杯刷题-小数第n位详解

题目描述

我们知道,整数做除法时,有时得到有限小数,有时得到无限循环小数。

如果我们把有限小数的末尾加上无限多个 0,它们就有了统一的形式。

本题的任务是:在上面的约定下,求整数除法小数点后的第 n 位开始的 3 位数。

输入描述

输入一行三个整数:a b n,用空格分开。a 是被除数,b 是除数,n 是所求的小数后位置(0<a,b,n<10的9次方)

输出描述

输出一行 3 位数字,表示:a 除以 b,小数后第 n 位开始的 3 位数字。

分析

首先,我们得明确几个关键点:

1. 如何处理除法后的循环小数?比如像1/3=0.(3)这样的无限循环小数,如何快速定位到第n位?

2. 当小数部分是有限的时候,比如1/8=0.125,之后都是0,这时候如果n超过有效位数,后面的三位应该是0吗?

3. 题目中的n的范围很大,可能到1e9,所以直接进行除法计算然后取小数点后的位数是不现实的,必须找到数学方法或规律来快速定位。

我们来思考如何解决这些问题。

a除以b的结果的小数部分可以分为两种情况:有限小数和无限循环小数。但根据题目描述,题目将所有有限小数视为末尾有无限个0的形式。例如,0.125被视为0.125000...。因此,无论哪种情况,我们都可以将小数部分视为一个循环体,或者是有限小数后面跟着无限个0的循环。

那如何找到小数点后的第n位开始的三个数字呢?

我们先处理除法后的余数,找到小数部分的每一位。但由于n可能非常大,直接逐位计算到第n位是不现实的。必须找到数学上的规律,或者利用模运算的性质来快速定位。我们知道,当进行除法时,余数的重复出现会导致循环的开始。例如,计算1/7=0.(142857),余数会依次出现1→3→2→6→4→5→1,循环开始。因此,如果能找到余数的循环周期,就能快速定位到第n位的位置。

但这里的问题可能不需要找到整个循环周期,而是直接通过计算余数来找到第n位。因为每次余数乘以10再除以b,得到下一位的数字,同时余数更新为新的余数。这个过程可以表示为:

对于第k位小数,余数r_k = (r_{k-1} * 10) % b,而该位的数字是 (r_{k-1} * 10) // b。

因此,要找到第n位,只需要计算到第n次余数,然后取该位的数字。但问题是,n可能非常大,比如1e9,直接迭代计算n次显然会超时。因此,必须找到一种快速计算到第n位余数的方法。

这时候,快速幂模运算派上用场。因为每次余数的计算相当于乘以10,再取模b。而这个过程可以视为求10的幂次模b的值,然后应用到初始余数上。

方法思路

  1. 余数判断:首先计算 amod  b。如果余数为0,则所有小数位均为0,直接输出"000"。

  2. 快速幂模运算:利用快速幂算法计算 10^{n-1} mod b,以快速定位到第 n 位。

  3. 逐位计算:通过余数逐位计算第 n、n+1、n+2 位的数字,并处理循环小数或后续全0的情况。

具体分析

  1. 小数部分的规律

    • 小数部分是通过不断将余数乘以10,再除以 b得到的。

    • 比如 1÷8:

      • 余数 1×10=10,10÷8=1(第1位是1),余数是 2。

      • 余数 2×10=20,20÷8=2(第2位是2),余数是 4。

      • 余数 4×10=40,40÷8=5(第3位是5),余数是 0。

  2. 快速定位到第 n 位

    • 直接逐位计算到第 n 位会很慢(比如 n=10的9次方)。

    • 我们可以用 快速幂 来快速计算 10^{n-1} mod b,这样可以直接跳到第 n 位对应的余数。

  3. 逐位生成数字

    • 从第 n 位开始,通过余数逐位计算3位数字。

解决代码

a, b, n = map(int, input().split())
remainder = a % b  # 初始余数
if remainder == 0:  # 如果能整除,小数部分全是0print("000")
else:# 快速幂计算 10^(n-1) % b,快速跳到第 n 位power = pow(10, n - 1, b)# 计算第 n 位对应的余数current_remainder = (remainder * power) % b# 逐位生成3位数字digits = []for _ in range(3):digit = (current_remainder * 10) // b  # 当前位的数字digits.append(digit)current_remainder = (current_remainder * 10) % b  # 更新余数# 输出结果print(f"{digits[0]}{digits[1]}{digits[2]}")

该方法利用快速幂和模运算高效处理大数问题,时间复杂度为 O(log⁡n),适用于极大范围的输入。

 例子

我们可以换个例子再感受一下:

  • a=3,b=7,n=4。

  • 我们需要找到 3÷7 的小数部分从第4位开始的连续3位数字。

小数部分的生成规律

首先,我们来看 3÷7 的小数部分是如何生成的:

  1. 余数 3×10=30,30÷7=4(第1位是4),余数是 2。

  2. 余数 2×10=20,20÷7=2(第2位是2),余数是 6。

  3. 余数 6×10=60,60÷7=8(第3位是8),余数是 4。

  4. 余数 4×10=40,40÷7=5(第4位是5),余数是 5。

  5. 余数 5×10=50,50÷7=7(第5位是7),余数是 1。

  6. 余数 1×10=10,10÷7=1(第6位是1),余数是 3。

  7. 余数 3×10=30,30÷7=4(第7位是4),余数是 2。

  8. 以此类推,小数部分为 0.428571428571...,循环节是 428571

如果我们直接逐位计算到第4位,需要计算4次。但如果 nn 很大(比如 n=109n=109),逐位计算会非常慢。快速幂 的作用是帮助我们快速计算出第4位对应的余数,从而跳过前面的计算。

我们需要计算 10^{n-1} mod b,即 10的3次方mod  7。

  1. 将指数 3 表示为二进制形式:3 = 2^{1} + 2^{0}

  2. 通过平方和乘法快速计算 10的3次方:

    • 10^{1} = 10

    • 10^{2} = (10^{1})^{2} = 100

    • 10^{3} = 10^{1} * 10^{2} = 10*100 = 1000

  3. 计算 1000mod  7:

    • 1000÷7=142余 6,所以 1000mod  7=6。

跳到第4位

  1. 初始余数:3mod  7=3。

  2. 快速幂计算:10的3次方 mod  7=6。

  3. 跳到第4位对应的余数:(3×6)mod  7=18mod  7=4。

  4. 逐位生成数字:

    • 第4位:(4×10)÷7=5,余数是 5。

    • 第5位:(5×10)÷7=7,余数是 1。

    • 第6位:(1×10)÷7=1,余数是 3。

  5. 输出结果:571

关于快速幂相关知识,参考快速幂知识点

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