图像处理基础(8)：图像的灰度直方图、直方图均衡化、直方图规定化（匹配）

本文主要介绍了灰度直方图相关的处理，包括以下几个方面的内容：

•   利用OpenCV计算图像的灰度直方图，并绘制直方图曲线

•   直方图均衡化的原理及实现

•   直方图规定化（匹配）的原理及实现

图像的灰度直方图

一幅图像由不同灰度值的像素组成，图像中灰度的分布情况是该图像的一个重要特征。图像的灰度直方图就描述了图像中灰度分布情况，能够很直观的展示出图像中各个灰度级所占的多少。
图像的灰度直方图是灰度级的函数，描述的是图像中具有该灰度级的像素的个数：其中，横坐标是灰度级，纵坐标是该灰度级出现的频率。

不过通常会将纵坐标归一化到

区间内，也就是将灰度级出现的频率（像素个数）除以图像中像素的总数。灰度直方图的计算公式如下：

其中，

是像素的灰度级，

是具有灰度

的像素的个数，

是图像中总的像素个数。

OpenCV灰度直方图的计算

直方图的计算是很简单的，无非是遍历图像的像素，统计每个灰度级的个数。在OpenCV中封装了直方图的计算函数calcHist，为了更为通用该函数的参数有些复杂，其声明如下：

void calcHist( const Mat* images, int nimages,const int* channels, InputArray mask,OutputArray hist, int dims, const int* histSize,const float** ranges, bool uniform = true, bool accumulate = false );

该函数能够同时计算多个图像，多个通道，不同灰度范围的灰度直方图.
其参数如下：

•   images，输入图像的数组，这些图像要有相同大大小，相同的深度（CV_8U CV_16U CV_32F）.

•   nimages ，输入图像的个数

•   channels，要计算直方图的通道个数。

•   mask，可选的掩码，不使用时可设为空。要和输入图像具有相同的大小，在进行直方图计算的时候，只会统计该掩码不为0的对应像素

•   hist，输出的直方图

•   dims，直方图的维度

•   histSize，直方图每个维度的大小

•   ranges，直方图每个维度要统计的灰度级的范围

•   uniform，是否进行归一化，默认为true

•   accumulate，累积标志，默认值为false。

为了计算的灵活性和通用性，OpenCV的灰度直方图提供了较多的参数，但对于只是简单的计算一幅灰度图的直方图的话，又显得较为累赘。这里对calcHist进行一次封装，能够方便的得到一幅灰度图直方图。

class Histogram1D
{
private:int histSize[1]; // 项的数量float hranges[2]; // 统计像素的最大值和最小值const float* ranges[1];int channels[1]; // 仅计算一个通道public:Histogram1D(){// 准备1D直方图的参数histSize[0] = 256;hranges[0] = 0.0f;hranges[1] = 255.0f;ranges[0] = hranges;channels[0] = 0;}MatND getHistogram(const Mat &image){MatND hist;// 计算直方图calcHist(&image ,// 要计算图像的1,                // 只计算一幅图像的直方图channels,        // 通道数量Mat(),            // 不使用掩码hist,            // 存放直方图1,                // 1D直方图histSize,        // 统计的灰度的个数ranges);        // 灰度值的范围return hist;}Mat getHistogramImage(const Mat &image){MatND hist = getHistogram(image);// 最大值，最小值double maxVal = 0.0f;double minVal = 0.0f;minMaxLoc(hist, &minVal, &maxVal);//显示直方图的图像Mat histImg(histSize[0], histSize[0], CV_8U, Scalar(255));// 设置最高点为nbins的90%int hpt = static_cast<int>(0.9 * histSize[0]);//每个条目绘制一条垂直线for (int h = 0; h < histSize[0]; h++){float binVal = hist.at<float>(h);int intensity = static_cast<int>(binVal * hpt / maxVal);// 两点之间绘制一条直线line(histImg, Point(h, histSize[0]), Point(h, histSize[0] - intensity), Scalar::all(0));}return histImg;}
};

Histogram1D提供了两个方法：getHistogram返回统计直方图的数组，默认计算的灰度范围是[0,255]；getHistogramImage将图像的直方图以线条的形式画出来，并返回包含直方图的图像。测试代码如下：

    Histogram1D hist;Mat histImg;histImg = hist.getHistogramImage(image);imshow("Image", image);imshow("Histogram", histImg);

其结果如下：

直方图均衡化 Histogram Equalization

假如图像的灰度分布不均匀，其灰度分布集中在较窄的范围内，使图像的细节不够清晰，对比度较低。通常采用直方图均衡化及直方图规定化两种变换，使图像的灰度范围拉开或使灰度均匀分布，从而增大反差，使图像细节清晰，以达到增强的目的。
直方图均衡化，对图像进行非线性拉伸，重新分配图像的灰度值，使一定范围内图像的灰度值大致相等。这样，原来直方图中间的峰值部分对比度得到增强，而两侧的谷底部分对比度降低，输出图像的直方图是一个较为平坦的直方图。

均衡化算法

直方图的均衡化实际也是一种灰度的变换过程，将当前的灰度分布通过一个变换函数，变换为范围更宽、灰度分布更均匀的图像。也就是将原图像的直方图修改为在整个灰度区间内大致均匀分布，因此扩大了图像的动态范围，增强图像的对比度。通常均衡化选择的变换函数是灰度的累积概率，直方图均衡化算法的步骤：

•   计算原图像的灰度直方图 

，其中

为像素总数，

为灰度级

的像素个数

•   计算原始图像的累积直方图 

•   

，其中 

是目的图像的像素，

是源图像灰度为i的累积分布，L是图像中最大灰度级（灰度图为255）

其代码实现如下：

•   在上面中封装了求灰度直方图的类，这里直接应用该方法得到图像的灰度直方图；

•   将灰度直方图进行归一化，计算灰度的累积概率；

•   创建灰度变化的查找表

•   应用查找表，将原图像变换为灰度均衡的图像

具体代码如下：

void equalization_self(const Mat &src, Mat &dst)
{Histogram1D hist1D;MatND hist = hist1D.getHistogram(src);hist /= (src.rows * src.cols); // 对得到的灰度直方图进行归一化float cdf[256] = { 0 }; // 灰度的累积概率Mat lut(1, 256, CV_8U); // 灰度变换的查找表for (int i = 0; i < 256; i++){// 计算灰度级的累积概率if (i == 0)cdf[i] = hist.at<float>(i);elsecdf[i] = cdf[i - 1] + hist.at<float>(i);lut.at(i) = static_cast(255 * cdf[i]); // 创建灰度的查找表}LUT(src, lut, dst); // 应用查找表，进行灰度变化，得到均衡化后的图像}

上面代码只是加深下对均衡化算法流程的理解，实际在OpenCV中也提供了灰度均衡化的函数equalizeHist,该函数的使用很简单，只有两个参数：输入图像，输出图像。下图为，上述代码计算得到的均衡化结果和调用equalizeHist的结果对比

最左边为原图像，中间为OpenCV封装函数的结果，右边为上面代码得到的结果。

直方图规定化

从上面可以看出，直方图的均衡化自动的确定了变换函数，可以很方便的得到变换后的图像，但是在有些应用中这种自动的增强并不是最好的方法。有时候，需要图像具有某一特定的直方图形状（也就是灰度分布），而不是均匀分布的直方图，这时候可以使用直方图规定化。
直方图规定化，也叫做直方图匹配，用于将图像变换为某一特定的灰度分布，也就是其目的的灰度直方图是已知的。这其实和均衡化很类似，均衡化后的灰度直方图也是已知的，是一个均匀分布的直方图；而规定化后的直方图可以随意的指定，也就是在执行规定化操作时，首先要知道变换后的灰度直方图，这样才能确定变换函数。规定化操作能够有目的的增强某个灰度区间，相比于，均衡化操作，规定化多了一个输入，但是其变换后的结果也更灵活。

在理解了上述的均衡化过程后，直方图的规定化也较为简单。可以利用均衡化后的直方图作为一个中间过程，然后求取规定化的变换函数。具体步骤如下：

•   将原始图像的灰度直方图进行均衡化，得到一个变换函数

，其中s是均衡化后的像素，r是原始像素

•   对规定的直方图进行均衡化，得到一个变换函数

，其中v是均衡化后的像素，z是规定化的像素

•   上面都是对同一图像的均衡化，其结果应该是相等的,

,且

通过，均衡化作为中间结果，将得到原始像素

和

规定化后像素之间的映射关系。

详解规定化过程

对图像进行直方图规定化操作，原始图像的直方图和以及规定化后的直方图是已知的。假设

表示原始图像的灰度概率密度，

表示规定化图像的灰度概率密度（r和z分别是原始图像的灰度级，规定化后图像的灰度级）。

•   对原始图像进行均衡化操作，则有

•   对规定化的直方图进行均衡化操作，则

•   由于是对同一图像的均衡化操作，所以有

。

•   规定化操作的目的就是找到原始图像的像素

到规定化后图像像素的

之间的一个映射。有了上一步的等式后，可以得到

，因此要想找到

相对应的

只需要在

进行迭代，找到使式子

的绝对值最小即可。

•   上述描述只是理论的推导过程，在实际的计算过程中，不需要做两次的均衡化操作，具体的推导过程如下：$$