判别分析：原理推导、方法对比与Matlab实战

内容摘要
本文深入解析判别分析的三大核心方法——距离判别、Fisher判别与Bayes判别，结合协方差估计、投影优化及贝叶斯决策理论，系统阐述数学原理与实现细节。通过气象数据春早预测、产品厂家分类及城市竞争力评估三大实战案例，完整演示数据标准化、判别函数构建、分类规则设计及模型验证流程。

关键词：判别分析 马氏距离 Fisher投影 Bayes决策 Matlab分类 协方差估计 关键词：判别分析 马氏距离 Fisher投影 Bayes决策 Matlab分类 协方差估计

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1. 判别分析核心概念

判别分析旨在通过统计模型将样本划分到已知类别中，其核心步骤包括：

1. 特征标准化：消除量纲差异，如Z-score标准化。
2. 判别函数构建：基于距离、投影或概率构建分类规则。
3. 分类决策：根据阈值判定样本归属类别。

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2. 距离判别法详解

2.1 马氏距离的数学本质

马氏距离通过协方差矩阵修正欧氏距离，反映数据分布结构：
$$d(x,A)=\sqrt{(x-\mu {)}^T{\Sigma }^{-1}(x-\mu )}$$
优势：考虑变量相关性，适用于非球形分布数据。

2.2 协方差相同与不同的分类策略

(1) 协方差相同

• 判别函数：
  $$w(x)=(x-\bar{\mu }{)}^T{\Sigma }^{-1}({\mu }_1-{\mu }_2)$$
• 分类规则：
  $$x\in \{\begin{array}{ll}A,& w(x)\ge 0\\ B,& w(x)<0\end{array}$$

(2) 协方差不同

• 判别函数：
  $$w(x)=(x-{\mu }_2{)}^T{\Sigma }_2^{-1}(x-{\mu }_2)-(x-{\mu }_1{)}^T{\Sigma }_1^{-1}(x-{\mu }_1)$$
• 分类规则：直接比较马氏距离，选择较小者。

Matlab代码实现：

% 协方差不同时的距离判别
mu1 = mean(class1_data); mu2 = mean(class2_data);
sigma1 = cov(class1_data); sigma2 = cov(class2_data);
d1 = (x_test - mu1) * inv(sigma1) * (x_test - mu1)';
d2 = (x_test - mu2) * inv(sigma2) * (x_test - mu2)';
if d1 < d2disp('属于类别A');
elsedisp('属于类别B');
end

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3. Fisher判别法深度解析

3.1 投影方向优化

Fisher准则最大化类间散度与类内散度之比：
$$J(a)=\frac{a^T{S}_{B}a}{a^T{S}_{W}a}$$
其中：

• $S_B=({\mu }_1-{\mu }_2)({\mu }_1-{\mu }_2{)}^T$ 为类间散度矩阵
• $S_W={\Sigma }_1+{\Sigma }_2$ 为类内散度矩阵

最优解：$a=S_W^{-1}({\mu }_1-{\mu }_2)$

3.2 多类别扩展

对$K$类问题，投影矩阵$A$由前$K-1$个最大特征值对应的特征向量组成。

Matlab代码实现：

% Fisher判别多分类
[coeff, score, latent] = pca(X); % PCA降维
ldaModel = fitcdiscr(X, Y, 'DiscrimType', 'linear');
predicted = predict(ldaModel, X_test);

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4. Bayes判别法与风险最小化

4.1 贝叶斯决策理论

• 先验概率：$p_1,p_2$ 表示各类别出现概率。
• 误判损失：$L(1|2)$ 表示将类别2误判为1的损失。
• 后验概率：$P(Y=k|X=x)\propto f_k(x)p_k$

4.2 判别函数与阈值

• 判别函数：
  $$W(x)=\ln \frac{f_1(x)}{f_2(x)}+\ln \frac{p_{1}L(2|1)}{p_{2}L(1|2)}$$
• 分类规则：
  $$x\in \{\begin{array}{ll}Y=1,& W(x)\ge 0\\ Y=2,& W(x)<0\end{array}$$

Matlab代码实现：

% Bayes判别（正态分布假设）
mu1 = mean(train1); mu2 = mean(train2);
sigma = cov([train1; train2]); % 假设协方差相同
prior = [0.3, 0.7]; % 先验概率
loss_matrix = [0, 1; 2, 0]; % 误判损失矩阵
bayesModel = fitcnb(train_data, train_label, 'Prior', prior, 'Cost', loss_matrix);
predicted = predict(bayesModel, test_data);

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5. 综合案例实战

5.1 气象数据春早预测

数据与问题

• 指标：$x_1$（综合因子1），$x_2$（综合因子2）
• 类别：6个春旱年 vs 8个非春旱年

Matlab实现步骤

1. 数据标准化：

   data = zscore([a; b]); % a为春旱数据，b为非春旱数据
   

2. 计算均值与协方差：

   mu1 = mean(a); mu2 = mean(b);
   sigma = ((n1-1)*cov(a) + (n2-1)*cov(b)) / (n1 + n2 - 2);
   

3. 构建判别函数：
   $$W(x)=2.0893x_1-3.3165x_2-55.4331$$
4. 分类验证：

   [predicted, error] = classify(test_data, [a; b], labels, 'linear');
   fprintf('误判率：%.2f%%\n', error*100);
   

结果分析

• 历史数据拟合率：93%（仅1个样本误判）
• 新样本预测：输入$(23.5,-1.9)$，输出“春旱”。

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5.2 产品厂家分类（经济类型判别）

数据与问题

• 指标：式样、包装、耐久性评分
• 类别：7家畅销品（1类） vs 5家滞销品（2类）
• 新样本：3家新厂家的评分数据

Matlab实现步骤

1. 数据加载与分组：

   train = [9 8 7; 7 6 6; ... ]; % 12x3矩阵
   labels = [ones(7,1); 2*ones(5,1)];
   

2. 多方法分类对比：

   % 马氏距离分类
   [result1, err1] = classify(sample, train, labels, 'mahalanobis');
   % Fisher线性分类
   [result2, err2] = classify(sample, train, labels, 'linear');
   % 二次Bayes分类
   [result3, err3] = classify(sample, train, labels, 'quadratic');
   

3. 结果输出：

   厂家1: 类别1（畅销）  
   厂家2: 类别1（畅销）  
   厂家3: 类别2（滞销）  
   

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5.3 城市竞争力与基础设施关联分析

数据与问题

• 竞争力指标：劳动生产率、市场占有率等
• 基础设施指标：交通、通讯、文化设施等
• 目标：通过典型相关分析挖掘两组变量关联

关键步骤

1. 典型相关系数计算：

   [A, B, r] = canoncorr(X, Y); % X为竞争力数据，Y为基础设施数据
   

2. 显著性检验：

   [~, pval] = corrcoef([U, V]); % U和V为典型变量
   

3. 经济解释：
   • 第一典型变量：市场占有率与交通设施高度相关（$r=0.92$）
   • 第二典型变量：居民收入与卫生设施负相关（$r=-0.68$）

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6. 总结与讨论

1. 方法对比

   方法	假设条件	适用场景
   距离判别	协方差相同	小样本、线性分类
   Fisher判别	无分布假设	高维数据降维
   Bayes判别	已知先验概率与损失矩阵	风险敏感决策

2. 实战建议

   • 数据预处理：标准化、异常值处理（如3σ原则）
   • 模型验证：交叉验证、ROC曲线评估
   • 多方法融合：Bagging或Stacking提升鲁棒性