通往 AI 之路:Python 机器学习入门-线性代数
2.1 线性代数(机器学习的核心)
线性代数是机器学习的基础之一,许多核心算法都依赖矩阵运算。本章将介绍线性代数中的基本概念,包括标量、向量、矩阵、矩阵运算、特征值与特征向量,以及奇异值分解(SVD)。
2.1.1 标量、向量、矩阵
1. 标量(Scalar)
标量是一个单独的数,例如:
a = 5
在 Python 中:
a = 5 # 标量
2. 向量(Vector)
向量是由多个数值组成的一维数组,例如:
v = [2, 3, 5]
Python 实现:
import numpy as np
v = np.array([2, 3, 5]) # 一维数组表示向量
print(v)
3. 矩阵(Matrix)
矩阵是一个二维数组,例如:
A = [[1, 2],[3, 4]]
Python 实现:
A = np.array([[1, 2], [3, 4]]) # 二维数组表示矩阵
print(A)
2.1.2 矩阵运算
1. 矩阵加法
两个相同形状的矩阵可以相加:
A + B = [[1, 2], + [[5, 6], = [[6, 8],[3, 4]] [7, 8]] [10, 12]]
Python 计算:
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])
C = A + B
print(C)
2. 矩阵乘法
- 逐元素相乘(Hadamard 乘积)
A ⊙ B = [[1×5, 2×6],[3×7, 4×8]]= [[5, 12],[21, 32]]
Python 实现:
C = A * B # 逐元素相乘
print(C)
- 矩阵乘法(点积)
A × B = [[1×5 + 2×7, 1×6 + 2×8],[3×5 + 4×7, 3×6 + 4×8]]= [[19, 22],[43, 50]]
Python 实现:
C = np.dot(A, B) # 矩阵乘法
print(C)
3. 矩阵转置
矩阵转置是将行变成列:
A^T = [[1, 3],[2, 4]]
Python 计算:
A_T = A.T # 计算转置
print(A_T)
4. 逆矩阵
如果矩阵 A
是可逆的(即 det(A) ≠ 0
),那么存在一个矩阵 A^(-1)
使得:
A × A^(-1) = I (单位矩阵)
Python 计算:
A_inv = np.linalg.inv(A) # 计算逆矩阵
print(A_inv)
2.1.3 特征值与特征向量
特征值(Eigenvalue)和特征向量(Eigenvector)在机器学习中用于主成分分析(PCA)等算法。
1. 定义
对于矩阵 A
,如果存在一个向量 v
和一个数 λ
使得:
A × v = λ × v
那么 v
是 A
的特征向量,λ
是对应的特征值。
2. Python 计算特征值和特征向量
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)
print("特征值:", eigenvalues)
print("特征向量:", eigenvectors)
2.1.4 SVD(奇异值分解)
奇异值分解(Singular Value Decomposition, SVD)是矩阵分解的一种重要方法,它可以表示为:
A = U × Σ × V^T
其中:
U
是左奇异向量矩阵Σ
是对角矩阵,对角线上的元素称为奇异值V^T
是右奇异向量矩阵的转置
Python 计算 SVD
U, S, V_T = np.linalg.svd(A)
print("U 矩阵:", U)
print("Σ 矩阵:", S)
print("V^T 矩阵:", V_T)
SVD 在降维(如 PCA)中有重要应用,后续章节将深入介绍。
总结
本章介绍了机器学习中常用的线性代数知识,包括:
- 标量、向量、矩阵 及其表示方式
- 矩阵运算(加法、乘法、转置、逆矩阵)
- 特征值与特征向量(PCA 等算法的基础)
- SVD(奇异值分解)(在数据降维中的应用)
掌握这些内容,有助于理解机器学习的数学基础!建议多实践代码,加深理解!
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