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学习第十一天-树

一、树的基础概念

1. 定义

树是一种非线性数据结构,由 n 个有限节点组成层次关系集合。特点:

  • 有且仅有一个根节点
  • 其余节点分为若干互不相交的子树
  • 节点间通过父子关系连接

2. 关键术语

术语定义
节点包含数据和子节点引用的单元
根节点树的起始节点,没有父节点
子节点直接连接到父节点的节点
叶子节点没有子节点的节点
节点拥有的子树数目
树的高度从根节点到最远叶子节点的最长路径边数
树的深度从根节点到当前节点的层数
路径从根到某节点的唯一通道

3. 分类

  • 二叉树:每个节点最多两个子节点(左子树 / 右子树)
  • 多叉树:每个节点可包含多个子节点(如三叉树、四叉树)
  • 有序树:子树顺序有意义(如二叉搜索树)
  • 无序树:子树顺序无关

二、二叉树的核心特性

1. 特殊二叉树

  • 满二叉树:所有层节点数达到最大值
  • 完全二叉树:最后一层节点靠左排列,其余层满
  • 二叉搜索树:左子树值 < 根值 < 右子树值

2. 重要性质

  1. 第 i 层最多有 2^(i-1) 个节点
  2. 高度为 h 的二叉树最多有 2^h -1 个节点
  3. 完全二叉树节点编号 i 的子节点为 2i 和 2i+1
  4. 叶子节点数 = 度为 2 的节点数 + 1

3. 存储结构

方式实现方式适用场景
数组存储按层序编号存储节点值完全二叉树
链式存储结构体包含左右指针任意二叉树

三、二叉树遍历方法

1. 深度优先遍历

  • 前序遍历:根→左→右
    递归实现:

    收起

    python

    def preorder(root):if root:print(root.val)preorder(root.left)preorder(root.right)
    
  • 中序遍历:左→根→右
    应用: 二叉搜索树中序遍历结果有序
  • 后序遍历:左→右→根
    应用: 计算表达式树

2. 广度优先遍历

  • 层序遍历:逐层访问节点
    队列实现:

    收起

    python

    def levelorder(root):queue = [root]while queue:node = queue.pop(0)print(node.val)if node.left: queue.append(node.left)if node.right: queue.append(node.right)
    

3. 遍历对比

遍历方式时间复杂度空间复杂度典型应用
前序O(n)O(h)复制树、生成括号
中序O(n)O(h)二叉搜索树排序
后序O(n)O(h)删除树、计算表达式
层序O(n)O(w)层次处理、找最近公共祖先

四、树结构的典型应用

  1. 文件系统:目录结构(Windows 资源管理器)
  2. XML/JSON 解析:文档对象模型(DOM)
  3. 数据库索引:B 树 / B + 树优化查询
  4. 压缩算法:哈夫曼树构建最优前缀编码
  5. 人工智能:决策树、蒙特卡洛树搜索
  6. 网络路由:路由表的层次化存储

五、高级树结构详解

5.1 B 树(B-Tree)

5.1.1 定义与特性

  • 平衡多路查找树,所有叶子节点在同一层
  • 阶数 m:每个节点最多有 m 个子节点(m≥2)
  • 关键特性
    • 根节点至少 2 个子节点
    • 非根节点至少⌈m/2⌉个子节点
    • 叶子节点包含所有数据
5.1.2 操作复杂度

操作时间复杂度
查找O(log_m n)
插入O(log_m n)
删除O(log_m n)
5.1.3 典型应用

  • 数据库索引(如 MySQL 的 InnoDB 引擎)
  • 文件系统目录结构
  • 外部存储数据管理
5.1.4 与二叉搜索树对比

特性B 树二叉搜索树
平衡方式多叉平衡二叉平衡
查找效率更低的 I/O 次数依赖树的高度
适用场景外存数据管理内存数据管理

5.2 红黑树(Red-Black Tree)

5.2.1 定义与性质

  • 自平衡二叉搜索树,通过颜色标记保持平衡
  • 五大性质
    1. 节点颜色为红或黑
    2. 根节点为黑色
    3. 叶子节点(NIL)为黑色
    4. 红节点的子节点必须为黑色
    5. 从任一节点到其叶子的路径包含相同数量黑节点
5.2.2 操作复杂度

操作时间复杂度
查找O(log n)
插入O(log n)
删除O(log n)
5.2.3 典型应用

  • Java 的 TreeMap/TreeSet
  • C++ 的 std::map
  • Linux 内核的进程调度
  • Nginx 的定时器管理
5.2.4 旋转操作

  • 左旋转:将某个节点作为支点向左下方旋转
  • 右旋转:将某个节点作为支点向右上方旋转
  • 示例代码片段:

收起

python

def left_rotate(x):y = x.rightx.right = y.leftif y.left:y.left.parent = xy.parent = x.parentif x.parent is None:root = yelif x == x.parent.left:x.parent.left = yelse:x.parent.right = yy.left = xx.parent = y

5.3 其他重要树结构

类型核心特性典型应用
AVL 树严格平衡(左右子树高度差≤1)内存中的有序数据
哈夫曼树带权路径长度最小数据压缩(如 ZIP 算法)
B + 树所有数据在叶子节点,非叶子存索引数据库索引
线段树区间查询优化统计类问题
字典树 (Trie)前缀共享存储拼写检查、IP 路由表

六、树结构对比与选择策略

6.1 平衡树对比

结构平衡条件插入 / 删除复杂度适用场景
B 树多叉平衡O(log_m n)外存数据管理
红黑树颜色标记平衡O(log n)内存有序结构
AVL 树高度差平衡O(log n)频繁查询场景

6.2 选择策略

  1. 内存场景
    • 数据量小 → 二叉搜索树
    • 数据量大 → 红黑树 / AVL 树
  2. 外存场景
    • 读多写少 → B + 树
    • 读写均衡 → B 树
  3. 特殊需求
    • 前缀匹配 → Trie 树
    • 数据压缩 → 哈夫曼树

七、树结构算法优化技巧

  1. 空间优化
    • 使用数组存储完全二叉树(节省指针空间)
    • 共享子树结构(如 Trie 树的前缀共享)
  2. 时间优化
    • 利用缓存友好性(B 树的节点大小与磁盘块对齐)
    • 延迟更新(如红黑树的懒删除)
  3. 并行处理
    • 多叉树的多路并行查找
    • 分布式哈希表(DHT)的树状路由

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