蓝桥试题：传球游戏（二维dp）

一、题目描述

上体育课的时候，小蛮的老师经常带着同学们一起做游戏。这次，老师带着同学们一起做传球游戏。

游戏规则是这样的：n 个同学站成一个圆圈，其中的一个同学手里拿着一个球，当老师吹哨子时开始传球，每个同学可以把球传给自己左右的两个同学中的一个（左右任意），当老师再次吹哨子时，传球停止，此时，拿着球没传出去的那个同学就是败者，要给大家表演一个节目。

聪明的小蛮提出一个有趣的问题：有多少种不同的传球方法可以使得从小蛮手里开始传的球，传了 m 次以后，又回到小蛮手里。两种传球的方法被视作不同的方法，当且仅当这两种方法中，接到球的同学按接球顺序组成的序列是不同的。比如有 3 个同学 1 号、2 号、3 号，并假设小蛮为 1 号，球传了 3 次回到小蛮手里的方式有 1->2->3->1 和 1->3->2->1，共 2 种。

输入描述

输入一行，有两个用空格隔开的整数 n，m (3≤n≤30，1≤m≤30) 。

输出描述

输出一行，有一个整数，表示符合题意的方法数。

输入输出样例

示例 1

输入

3 3

输出 

2

二、代码演示 

import java.util.*;
// 1:无需package
// 2: 类名必须Main, 不可修改public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);int n = scanner.nextInt();int m = scanner.nextInt();int[][] dp = new int[m + 1][n];dp[0][0] = 1;for (int i = 1; i <= m  ; i++) { //第i次传球到j号同学的方案数for (int j = 0; j < n; j++) {dp[i][j] += dp[i - 1][(j + 1 + n) % n] + dp[i - 1][(j - 1 + n) % n];}}System.out.println(dp[m][0]);}
}

这段代码使用动态规划来解决传球问题，计算经过m次传球后球回到初始同学（0号）的方案数。以下是代码的详细解释：

1. 动态规划数组初始化：

   • dp[i][j]表示经过i次传球后，球到达j号同学的方案数。

   • 初始状态dp[0][0] = 1表示0次传球时球在0号同学手中。

2. 状态转移：

   • 对于每次传球i（从1到m），遍历每个同学j（从0到n-1）。

   • 当前状态dp[i][j]由上一次传球到j的左右相邻同学的方案数之和得到。

   • 左右相邻同学通过取模运算处理环状结构，确保索引在有效范围内。

   • 逻辑

     • 每次传球只能传给 相邻同学（环形结构）。

     • 因此，球到达j号的方案数等于：

       • 前一次球在 j号左侧同学手中的方案数（(j - 1 + n) % n）

       • 加上 前一次球在 j号右侧同学手中的方案数（(j + 1 + n) % n）。

   • 环形结构的处理

     • (j + 1 + n) % n：获取j号右侧同学的索引（自动处理j=n-1时的循环）。

     • (j - 1 + n) % n：获取j号左侧同学的索引（避免j=0时出现负数）。