控制系统分类

自治系统/非自治系统、线性系统/非线性系统和仿射系统是控制系统理论中常见的分类方式，它们从不同的角度描述了系统的动态特性。

定义与特点

1. 自治系统（Autonomous System）与非自治系统（Non-Autonomous System）

自治系统

定义：系统的动态行为不显式依赖于时间 $t$。
数学表达：
$$\dot{x}=f(x)$$
特点：

• 系统的轨迹在相空间中不会相交。
• 平衡点是常数解，稳定性可以通过李雅普诺夫函数分析。
• 常见于物理系统（如无外力作用的质点系统）和生物系统（如种群增长模型）。

非自治系统

定义：系统的动态行为显式依赖于时间 $t$。
数学表达：
$$\dot{x}=f(x,t)$$
特点：

• 系统的轨迹可能随时间变化而相交。
• 平衡点可能是时间的函数，稳定性分析更为复杂。
• 常见于受周期性外力作用的系统、随时间变化的经济系统等。

注：一个误区，系统是自治还是非自治并不能根据系统有输入或者无输入来判断。

• 如果受控系统 $\dot{x}=f(x,u)$的输入$u=g(x)$只是关于状态的函数，那么受控系统是自治的；
• 如果受控系统 $\dot{x}=f(x,u)$的输入 $u=g(x,t)$ 是显式依赖于时间的，那么受控系统是非自治的。

2. 线性系统（Linear System）与非线性系统（Nonlinear System）

线性系统

定义：系统的动态行为满足线性叠加原理——齐次性和可加性。
数学表达：
$$\dot{x}=Ax+Bu$$
特点：

• 输出与输入呈线性关系。
• 可以通过线性代数和拉普拉斯变换等工具进行分析。
• 稳定性分析相对简单，通常可以通过极点配置等方法实现。
• 常见于电路系统、简单的机械振动系统等。

非线性系统

定义：系统的动态行为不满足线性叠加原理。
数学表达：
$$\dot{x}=f(x,u)$$
特点：

• 输出与输入存在非线性关系。
• 可能出现混沌、分叉等复杂现象。
• 稳定性分析通常需要借助数值方法或近似方法。
• 常见于生态系统、经济系统、复杂机械系统等。

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3. 仿射系统（Affine System）

定义：仿射系统是一种特殊的非线性系统，其动态方程可以表示为线性部分与非线性部分的组合。
数学表达：
$$\dot{x}=Ax+f(x)+Bu$$
其中，$Ax+Bu$ 是线性部分，$f(x)$ 是非线性部分。
特点：

• 仿射系统在形式上介于线性系统和非线性系统之间。
• 线性部分可以通过线性控制理论进行分析，而非线性部分需要借助非线性方法。
• 常见于实际工程系统中，如机器人控制系统、航空航天系统等。

4. 受控系统（Controlled System）和非受控系统（Uncontrolled System）

受控系统

定义：受控系统是指存在外部控制输入 $u$，并且系统的动态行为可以通过控制输入 $u$ 进行调节或改变的系统。控制输入 $u$ 是系统外部施加的信号，用于实现系统的期望行为，例如稳定系统、跟踪目标轨迹或优化性能指标。

数学表达
$$\dot{x}(t)=f(x,u)$$
特点：

• 受控系统的一个重要特性是可控性（Controllability），即通过适当的控制输入 $u$，系统可以从一个状态转移到另一个状态。
• 由于存在控制输入 $u$，受控系统可以通过外部信号实现多种期望的行为，例如稳定系统、跟踪目标轨迹或优化性能指标。
• 受控系统在工程、自动化、航空航天、机器人等领域有广泛应用，因为这些领域通常需要通过外部控制实现系统的精确调节。

非受控系统

定义：非受控系统是指不存在外部控制输入 $u$，系统的动态行为完全由其内部状态决定的系统。在这种系统中，系统的演化是自主的，不受外部输入的直接影响。
数学表达
$$\dot{x}(t)=f(x)$$
特点：

• 非受控系统的动态行为完全由其内部状态决定，不受外部输入的直接影响。系统的演化是自主的，通常用于描述自然现象或不需要外部干预的系统。
• 非受控系统的分析主要集中在系统的稳定性上，即系统是否能够自行稳定到某个平衡点。稳定性分析通常通过李雅普诺夫方法或其他分析工具进行。
• 非受控系统在物理学、生物学和经济学等领域有广泛应用，例如自然系统的演化、种群增长模型等。

总结

• 自治系统与非自治系统：主要区别在于系统动态行为是否显式依赖于时间 $t$。
• 线性系统与非线性系统：主要区别在于系统动态行为是否满足线性叠加原理。
• 仿射系统：是一种特殊的非线性系统，包含线性部分和非线性部分，其动态行为可以是自治的或非自治的，具体取决于非线性部分是否显式依赖于时间。
• 受控系统与非受控系统：主要区别在于系统动态是否存在外部控制输入 $u$，系统的动态行为是否可以通过 $u$ 进行调节。

系统类型	时间依赖性	线性/非线性	典型表达式	特点
自治系统	时间无关	线性或非线性	$\dot{x}=f(x)$	轨迹不相交，稳定性分析相对简单
非自治系统	时间相关	线性或非线性	$\dot{x}=f(x,t)$	轨迹可能相交，稳定性分析复杂
线性系统	时间无关或时间相关	线性	$\dot{x}=Ax+Bu$	输出与输入线性关系，分析简单
非线性系统	时间无关或时间相关	非线性	$\dot{x}=f(x,u)$	可能出现复杂现象，分析复杂
仿射系统	时间无关或时间相关	非线性	$\dot{x}=Ax+f(x)+Bu$	结合线性与非线性特性