傅里叶谱方法-傅里叶谱方法求解二维浅水方程组和二维粘性 Burgers 方程及其Matlab程序实现

3.3.2 二维浅水方程组

二维浅水方程组是描述水波运动的基本方程之一。它主要用于描述近岸浅水区域内的波浪、潮汐等水动力学现象。这个方程组由两个偏微分方程组成，一个是质量守恒方程，另一个是动量守恒方程。浅水方程描述了具有自由表面、密度均匀、深度较浅的液体在重力作用下的流动过程, 用于研究潮波和河流，具体形式如下:
$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial \eta }{\partial t}=-\frac{\partial (\eta u)}{\partial x}-\frac{\partial (\eta v)}{\partial y}\\ \frac{\partial u}{\partial t}=-v\frac{\partial u}{\partial y}-u\frac{\partial u}{\partial x}-g\frac{\partial \eta }{\partial x}\\ \frac{\partial v}{\partial t}=-u\frac{\partial v}{\partial x}-v\frac{\partial v}{\partial y}-g\frac{\partial \eta }{\partial y}\end{array}\text{\hspace{1em}(3-34)}$$
其中, $\eta$ 代表水深, $t$ 为时间, $x$ 和 $y$ 是水平面上的坐标, $u、v$ 是 $x$ 和 $y$ 方向上的流速, $g$ 为重力加速度。物理上，这个方程组描述了水波在浅水区域内的传播和运动。它假设水深相对于波长很小，即波长远大于水深，这样就可以近似将水流速度视为垂直于水深方向的，这被称为“浅水近似”。

在实际应用中，二维浅水方程组被广泛用于预测海洋和河流等水动力学现象。例如，可以用它来预测风浪的形成和演变，或者用它来优化海岸线防护结构的设计。

需要注意的是，二维浅水方程组是一种近似模型，它对真实的水动力学现象只能提供近似的描述，实际情况可能更加复杂。因此，在具体应用中，需要根据实际情况选择合适的模型并对其进行修正和调整。对方程组 (3-34) 的等号两边做 $x-y$ 空间上的二维傅里叶变换, 得到偏微分方程组:
$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial \hat{\hat{\eta }}}{\partial t}=-\mathrm{i}{k}_{x}F\left\{F^{-1}[\hat{\hat{\eta }}]F^{-1}[\hat{\tilde{u}}]\right\}-\mathrm{i}{k}_{y}F\left\{F^{-1}[\hat{\tilde{\eta }}]F^{-1}[\hat{v}]\right\}\\ \frac{\partial \hat{\hat{u}}}{\partial t}=-F\left\{F^{-1}[\hat{\hat{v}}]\cdot F^{-1}\left[\mathrm{i}{k}_y\hat{\hat{u}}\right]+F^{-1}[\hat{\vec{u}}]\cdot F^{-1}\left[\mathrm{i}{k}_x\hat{u}\right]\right\}-\mathrm{i}g{k}_x\hat{\hat{\eta }}\\ \frac{\partial \hat{v}}{\partial t}=-F\left\{F^{-1}[\hat{u}]\cdot F^{-1}\left[\mathrm{i}{k}_x\hat{v}\right]+F^{-1}[\hat{v}]\cdot F^{-1}\left[\mathrm{i}{k}_y\hat{v}\right]\right\}-\mathrm{i}g{k}_y\hat{\hat{\eta }}\end{array}\text{\hspace{1em}(3-35)}$$
取 $g=1$, 初始条件为 $\eta (x,y,0)=0.1\cdot \exp \left(-x^2/10-y^2/10\right)+0.1$ 和 $u(x,y,0)=v(x,y,0)=0$, 用傅里叶谱方法计算上述方程的代码如下:

主程序代码：

clear all; close all;
L=40; N=64;
x=L/N*[-N/2:N/2-1]; y=x;
kx=2*pi/L*[0:N/2-1 -N/2:-1]; ky=kx;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
[kX,kY]=meshgrid(kx,ky);
%初始条件
e=0.1*exp(-X.^2/10-Y.^2/10)+0.1;
et=fft2(e); ut=zeros(N^2,1); vt=zeros(N^2,1);
euvt=[et(:); ut; vt;];
%求解
t=[0 5 10 25]; g=1;
[t,euvtsol]=ode45('shallow_water',t,euvt,[],kX,kY,N,g);
%画图
for n=1:4subplot(2,2,n)mesh(x,y,real(ifft2(reshape(euvtsol(n,1:N^2),N,N))))axis([-20 20 -20 20 0.1 0.2]), title(['t=' num2str(t(n))])xlabel x, ylabel y, zlabel \eta, view(-80,45)
end

程序输出结果如图所示, 从 $t=0$ 时刻开始, 一个三维高斯形水柱在重力的作用下坍塌, 并激起了向四周传播的圆形水波。

3.3.3 二维粘性 Burgers 方程

Burgers方程是一种非线性偏微分方程，它最初由荷兰数学家J. M. Burgers在20世纪30年代提出，用于描述一维粘性流体中的流动行为。

Burgers方程在物理学中具有广泛的应用。它可以用于模拟一维粘性流体中的多种现象，如激波、涡旋、湍流等。在流体力学中，Burgers方程常用于模拟流体中的湍流现象，如湍流尾流、湍流边界层等。在量子场论中，Burgers方程被用于描述费米子系统中的量子涡旋。

Burgers方程还是一些数值方法和数学工具的基础，如Shocks-capturing方法、Lax-Friedrichs格式等。这些方法可以有效地处理Burgers方程中出现的激波等非线性现象，从而得到比较精确的数值解。

Burgers方程也是非线性动力学中一个重要的模型。它的解可能会出现奇点和激波等非线性现象，这些现象为非线性偏微分方程的研究提供了新的思路和挑战。通过对Burgers方程的研究，可以深入了解非线性动力学中的一些重要现象和性质。

此外，Burgers方程还被应用于宏观经济学中的一些问题，如经济增长、通货膨胀等。通过对Burgers方程的应用，可以揭示一些经济现象的本质规律和机制。

除了上述介绍的应用和研究方向，Burgers方程还有以下一些特点和性质：

Burgers方程是一种具有非线性扰动传递性的方程。这意味着，当一个扰动在Burgers方程中传播时，它会不断地变形和扩散，从而形成复杂的结构。

Burgers方程可以通过一些数学方法和技巧来求解。其中比较常用的方法包括Burgers方程的相似变换、行波解法和反演公式等。
Burgers方程的解可能会出现激波、奇点等非线性现象。这些现象具有一定的物理意义，并且对于解决实际问题具有重要的作用。

Burgers方程可以被看作是Navier-Stokes方程的一维版本，它描述了粘性流体中的一些基本特性和行为。因此，Burgers方程在流体力学中有着重要的应用和研究价值。

Burgers方程还可以被拓展到更高维度或者更复杂的情形下。例如，二维Burgers方程、Burgers-Fisher方程等。

总之，Burgers方程在物理学、数学和工程学等领域具有广泛的应用和研究价值，它的研究和应用也带动了非线性动力学和偏微分方程等领域的发展。

Burgers 方程有钟行孤波和扭波两种形式的行波解（如图）

二维粘性 Burgers 方程的形式如下:
$$\frac{\partial u}{\partial t}=v\left(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\right)u-u\left(\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y}\right)u\text{\hspace{1em}(3-36)}$$
其中, $u$ 代表速度, $x、y$ 为空间坐标, $t$ 为时间, $v$ 为粘性系数。对上式做二维傅里叶变换, 得:

$$\frac{\partial \hat{\hat{u}}}{\partial t}=-v\left(k_x^2+k_y^2\right)\hat{\hat{u}}-F\left\{F^{-1}[\hat{u}]\cdot F^{-1}\left[\mathrm{i}\left(k_x+k_y\right)\hat{\hat{u}}\right]\right\}\text{\hspace{1em}(3-37)}$$
取 $v=0.01$, 初始条件 $u(x,y,0)=\mathrm{sech}\left(4x^2+4y^2\right)$, 傅里叶谱方法的代码如下:

主程序代码：

clear all; close all;
L=4; N=64;
x=L/N*[-N/2:N/2-1]; y=x;
kx=2*pi/L*[0:N/2-1 -N/2:-1]; ky=kx;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
[kX,kY]=meshgrid(kx,ky);
K2=kX.^2+kY.^2;
%初始条件
u=sech(4*X.^2+4*Y.^2);
ut=fft2(u);
%求解
v=0.01; t=0:0.4:1.2;
[t,utsol]=ode45('burgers',t,ut(:),[],N,kX,kY,K2,v);
%画图
for n=1:4subplot(2,2,n)mesh(x,y,real(ifft2(reshape(utsol(n,:),N,N))))axis([-2 2 -2 2 0 1]), xlabel x, ylabel y, zlabel uview(46,20), title(['t=' num2str(t(n))])
end

程序执行结果如图所示，初始波形逐渐演变成激波，这是符合实际情况的。
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当Burgers方程中的初始波形是单峰的、集中在某一区域内的时候，它会随着时间的推移而逐渐演变成为一个激波。这个现象可以通过分析Burgers方程的解得到解释。

在初始时刻，Burgers方程的初始波形会随着时间的推移而扩散，并逐渐变得平缓。然而，由于Burgers方程是一个非线性方程，波形在演化过程中会发生非线性的相互作用，这些相互作用会导致波形逐渐变得不规则，并在某些区域内出现奇点。当波形的斜率超过一定阈值时，这些奇点会形成激波，即波形在激波前是平缓的，但在激波后却是陡峭的。

激波的形成可以用物理学中的震荡现象来解释。当初始波形逐渐演化为激波时，波前的部分会受到高压的压缩，而波后的部分则会受到低压的拉伸，这样就形成了一个压缩波和一个展开波，它们相互作用，最终形成了一个陡峭的激波。

总之，Burgers方程中的初始波形逐渐演变为激波的现象，是由于非线性相互作用导致的，它在物理学和工程学等领域中有着广泛的应用。