动态规划之01背包问题和完全背包问题

01背包的问题描述：（内容参考代码随想录）

有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

问题示例：

背包最大重量为4。

	重量	价值
物品0	1	15
物品1	3	20
物品2	4	30

解法一：暴力求解

每一件物品其实只有两个状态，取或者不取，所以可以使用回溯法搜索出所有的情况，那么时间复杂度就是o(2^n)，这里的n表示物品数量。

所以暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化！

解法二：二维dp数组01背包

1.确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

2.确定递推公式

不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以被背包内的价值依然和前面相同。)

放物品i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值

所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

3.dp数组初始化

如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。

dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。

当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。

从递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出dp[i][j] 是由左上方数值推导出来了，那么 其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖。

4.确定遍历顺序

虽然两个for循环遍历的次序不同，不管是先遍历背包还是先遍历物品，dp[i][j]所需要的数据就是左上角，根本是不影响结果的。

public static void main(String[] args) {int[] weight = {1,3,4};int[] value = {15,20,30};int bagSize = 4;testWeightBagProblem(weight,value,bagSize);}/*** 动态规划获得结果* @param weight  物品的重量* @param value   物品的价值* @param bagSize 背包的容量*/public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagSize){// 创建dp数组int goods = weight.length;  // 获取物品的数量int[][] dp = new int[goods][bagSize + 1];// 初始化dp数组// 创建数组后，其中默认的值就是0for (int j = weight[0]; j <= bagSize; j++) {dp[0][j] = value[0];}// 填充dp数组for (int i = 1; i < weight.length; i++) {for (int j = 1; j <= bagSize; j++) {if (j < weight[i]) {/*** 当前背包的容量都没有当前物品i大的时候，是不放物品i的* 那么前i-1个物品能放下的最大价值就是当前情况的最大价值*/dp[i][j] = dp[i-1][j];} else {/*** 当前背包的容量可以放下物品i* 那么此时分两种情况：*    1、不放物品i*    2、放物品i* 比较这两种情况下，哪种背包中物品的最大价值最大*/dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j] , dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]);}}}// 打印dp数组for (int i = 0; i < goods; i++) {for (int j = 0; j <= bagSize; j++) {System.out.print(dp[i][j] + "\t");}System.out.println("\n");}}

解法三：一维dp数组01背包

1.确定dp数组的定义

在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。

2.一维dp数组的递推公式

dp[j]有两个选择，一个是取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i，一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品i，指定是取最大的，毕竟是求最大价值。

3.一维dp数组如何初始化

dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。

根据递归公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);所以在初始化的时候不能初始化较大的值，因为dp[j]是求最大值得出的，不然会影响结果，初始为非负数中最小的就行，初始化为0就合适。

4.一维dp数组遍历顺序

二维dp遍历的时候，背包容量是从小到大，而一维dp遍历的时候，背包是从大到小。倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次！因为一维数组的结果要依赖前一次的结果，所以如果正序遍历，那么就会造成前面的结果重复计算。所以从后往前循环，每次取得状态不会和之前取得状态重合，这样每种物品就只取一次了。

为什么二维dp数组历的时候不用倒序呢？因为对于二维dp，dp[i][j]都是通过上一层即dp[i - 1][j]计算而来，本层的dp[i][j]并不会被覆盖！

两个嵌套for循环的顺序，一定是先遍历物品嵌套遍历背包容量，不能颠倒。

 public static void main(String[] args) {int[] weight = {1, 3, 4};int[] value = {15, 20, 30};int bagWight = 4;testWeightBagProblem(weight, value, bagWight);}public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagWeight){int wLen = weight.length;//定义dp数组：dp[j]表示背包容量为j时，能获得的最大价值int[] dp = new int[bagWeight + 1];//遍历顺序：先遍历物品，再遍历背包容量for (int i = 0; i < wLen; i++){for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--){dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}}//打印dp数组for (int j = 0; j <= bagWeight; j++){System.out.print(dp[j] + " ");}}

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小结：

01背包问题，用二维数组dp[i][j]和一维数组dp[i]来求解，两者有很大区别。在dp数组的含义，dp数组的初始化，以及for循环嵌套顺序以及遍历顺序都是不同的。

完全背包问题

01背包和完全背包的区别在于，01背包的物品只能使用一次，而完全背包的物品可以无限次使用，所以在遍历顺序上是有区别的。01背包问题为了能让每个物品只使用一次，所以是倒序遍历背包，而完全背包就改为正序遍历了。很简单的理解啊，因为正序遍历，后一个背包状态要依赖前一个背包的状态，所以一个物品可以被加了多次，而倒序遍历，因为前面的背包状态是初始值，所以后一个背包加了前面的背包状态也是无效的。同样，跟01背包的dp二维数组一样，两层for循环也是可以颠倒的。

//先遍历物品，再遍历背包
private static void testCompletePack(){int[] weight = {1, 3, 4};int[] value = {15, 20, 30};int bagWeight = 4;int[] dp = new int[bagWeight + 1];for (int i = 0; i < weight.length; i++){ // 遍历物品for (int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++){ // 遍历背包容量dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}}for (int maxValue : dp){System.out.println(maxValue + "   ");}
}//先遍历背包，再遍历物品
private static void testCompletePackAnotherWay(){int[] weight = {1, 3, 4};int[] value = {15, 20, 30};int bagWeight = 4;int[] dp = new int[bagWeight + 1];for (int i = 1; i <= bagWeight; i++){ // 遍历背包容量for (int j = 0; j < weight.length; j++){ // 遍历物品if (i - weight[j] >= 0){dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - weight[j]] + value[j]);}}}for (int maxValue : dp){System.out.println(maxValue + "   ");}
}