背包问题求方案数（AcWing）(JAVA)

有 N件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出 最优选法的方案数。注意答案可能很大，请输出答案模 109+7109+7 的结果。

输入格式:

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i件物品的体积和价值。

输出格式:

输出一个整数，表示 方案数 模 109+7109+7 的结果。

数据范围:

0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

输入样例：

4 5

1 2

2 4

3 4

4 6

输出样例：

2

解题思路： 题目是基于01背包的基础上进行扩展。核心还是01背包思路，01背包的核心就是由初始条件递推下一个状态的最优解，并记录。再由记录的最优解，递推下一个状态的最优解，层层递进。而本题是求最优选法方案数，实质上也是一样由初始条件递推并记录最优解，并层层递进。

值得注意的是：本题求最优选法的方案数。所以选不选这个方案和这个方案所对应背包装入价值有关，即选择装入最大价值的方案。【注意：两种方案（即不装第i件物品与装入第i件物品）价值相等，说明两种方案都可以，要相加。】

此外如果数据比较大，且大于等于10^9 + 7的话，可以 mod 10^9  + 7。

（如果还是觉得有些许疑虑，还是强烈建议用输入样例将01背包的运行原理手动运行一下，深究其规律，可能会有质的飞跃。）

理论成立代码如下（朴素法，容易理解）：

import java.util.*;public class Main {public static int N = 1010;public static int mod = (int)(1e9 + 7);public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int n = sc.nextInt();int m = sc.nextInt();int v[] = new int[N];int w[] = new int[N];for(int i = 1;i <= n; i ++) {v[i] = sc.nextInt();w[i] = sc.nextInt();}int count[][] = new int[n + 10][m + 10];//记录方案数int f[][] = new int[n + 10][m + 10];for(int i = 0; i <= m; i ++) count[0][i] = 1;//什么也不装也是一种装法。count[i][0]会被自动迭代成1，不必担心for(int i = 1; i <= n; i ++)for(int j = 0; j <= m; j ++) {if(j < v[i]) {count[i][j] = count[i - 1][j];//装不了，和前i-1的装法一样f[i][j] = f[i - 1][j];}else {if(f[i - 1][j - v[i]] + w[i] > f[i - 1][j])count[i][j] = count[i - 1][j - v[i]];else if(f[i - 1][j - v[i]] + w[i] == f[i - 1][j])count[i][j] = count[i - 1][j - v[i]] + count[i - 1][j];//两种方案都最优秀，最佳方案数要相加elsecount[i][j] = count[i - 1][j];//不相等选价值最大的f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);}if(count[i][j] >= mod)count[i][j] = count[i][j] % mod;}System.out.print(count[n][m]);}
}