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【最优化理论】线性规划

news 2026/1/28 14:41:03

文章目录

什么是线性规划（Linear Programming，LP）？
线性规划的标准形式
非标准形LP模型转化为标准形LP模型
基本概念
- 基本解&基矩阵&基变量&非基变量
- 基本可行解&可行基矩阵&非退化的基本可行解&退化的基本可行解
- 基本可行解存在性
- 求基本可行解
- - 示例：求基本可行解
- 求最优解
- - 方法一（暴力枚举）：求出所有基本可行解找最小
  - 方法二（迭代）：从一个基本可行解跳转到一个目标函数值更小的基本可行解
多面体
- 多面体基本性质
- 多面体的极点
- - 示例：求极点
- 多面体S有多少个极点？- 有限个 & 最多 $C_n^m$
- 多面体的方向
- 多面体的极方向
- - 多面体的极方向有多少个？- 有限个
  - 示例：求极方向
多面体分解定理
- 多面体分解定理有什么作用？
- - 重新表示可行集
  - 重新定义线性规划问题
  - - 为什么 $min⁡∑λiCTxi\min \sum \lambda_i C^Tx_i$ 等价于 $min C^Tx_i,i=1,...,k$ ？
  - 何时有最优解？
  - 最优解是什么？
单纯形法
- 基本思想
- 原理
- 方法
- 1 确定出基变量和出基向量的下标
- 2 确定进基变量和进基向量的下标
- 3 确定进基变量的值
- - 终止条件
单纯形法计算步骤
单纯形法表格形式

什么是线性规划（Linear Programming，LP）？

目标函数为决策变量的线性函数，同时约束条件为线性等式或线性不等式约束。

线性规划的标准形式

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非标准形LP模型转化为标准形LP模型

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基本概念

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基本解&基矩阵&基变量&非基变量

基本可行解&可行基矩阵&非退化的基本可行解&退化的基本可行解

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基本可行解存在性

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求基本可行解

求基本可行解<=>求极点<=>求可行基矩阵<=> $A_{m*n}$ 矩阵m个线性无关列
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示例：求基本可行解

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求最优解

方法一（暴力枚举）：求出所有基本可行解找最小

求出所有基本可行解（即求极点）。
代入目标函数找出最小极点（该最小极点即为最优解，因为最优解一定在极点取得）。

方法二（迭代）：从一个基本可行解跳转到一个目标函数值更小的基本可行解

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多面体

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多面体基本性质

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多面体的极点

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x若是极点，正分量对应的A的列一定线性无关。

示例：求极点

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多面体S有多少个极点？- 有限个 & 最多 $C_n^m$

最多有 $C_n^m$ 个极点，一般都少于 $C_n^m$ ，有两个原因。
原因1：从n个列中选出m列不一定线性无关。
原因2：即使这m列线性无关，其组成的B也不一定满足 $B−1b≥0B^{-1}b\ge 0$ 。

多面体的方向

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多面体的极方向

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多面体的极方向有多少个？- 有限个

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示例：求极方向

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d≥0

多面体分解定理

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多面体分解定理有什么作用？

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重新表示可行集

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重新定义线性规划问题

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为什么 $min⁡∑λiCTxi\min \sum \lambda_i C^Tx_i$ 等价于 $min C^Tx_i,i=1,...,k$ ？

求 $min C^Tx_i，i=1,...,k$ ，找到最小 $x_r$ 就是最优值点，令 $min⁡∑λiCTxi\min \sum \lambda_i C^Tx_i$ 中 $λr=1\lambda_r=1$ 其他的λ都为0， $C^Tx_r$ 就是最优值。

何时有最优解？

$CTdj≥0C^Td_j \ge 0$ 时，存在最优解。

$CTdj<0C^Td_j \lt 0$ 时，无解。

最优解是什么？

最优解一定在极点上取到。

$min C^Tx_i，i=1,...,k$ ，找到最小 $x_r$ 就是最优值点， $C^Tx_r$ 就是最优值。

单纯形法

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基本思想

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原理

实现基本可行基的转化

方法

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从初始基本可行解出发，求一个改进的基本可行解。

1 确定出基变量和出基向量的下标

2 确定进基变量和进基向量的下标

3 确定进基变量的值

目标函数值只与非基变量有关。
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终止条件

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单纯形法计算步骤

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单纯形法表格形式

【最优化理论】线性规划

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