「3」线性代数（期末复习）

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矩阵的秩

定义4:

在mxn矩阵A中，任取k行与k列（k<=m,k<=n）,位于这些行列交叉处的k^2个元素，不改变他们在A的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式

mxn矩阵A的k阶子式共有(C[m])^k·(C[n])^k

引理：A～B，则A与B的最高阶数相等

定义5:

设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有的r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，因此把r阶非零子式称为最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A).

定理1:R(A^T)=R(A)

注：对于n阶矩阵A，由于A的n阶子式只有一个｜A｜！=0时R(A)=n，当｜A｜=0时R(A)<n,可见可逆矩阵的秩等于矩阵的秩，不可逆的矩阵的秩小于矩阵的阶数，可逆矩阵又称为满秩矩阵。

注：矩阵的初等变换作为一种运算，其深刻意义在于它不改变矩阵的秩，，即定理2:

若A～B，则R(A)=R(B).

推论：若可逆矩阵P,Q,使得PAQ=B，则R(A)=R(B)，可逆矩阵不会影响矩阵的秩。

矩阵秩的求法

(1）矩阵A的最高阶非零子式的阶数r，称为矩阵A的秩，记作R(A)=r。

(2) R(A)= r<=>A的最简形含r个非零行

矩阵的基本性质：

（1）0<=R(A[mxn])<=min|m,n|（矩阵的秩是不会超过它的行和列）

（2）R(A^T)=R(A)

（3）若A~B，则R(A)=R(B)

（4）若P,Q可逆，则R(PAQ)=R(A)

常用的矩阵的秩的性质

（5）max|R(A),R(B)|<=R(A,B)<=R(A)+R(B)

（6）R(A+B)<=R(A)+R(B) （这里注意一下，R(A+B)不是R(A,B)）

（7）R(AB)<=min|R(A),R(B)|

（8）A[mxn]B[nxl]=O，则R(A)+R(B)<n

线性方程组的解

定理3    n元线性方程组Ax=b（方程式的个数）

（i）无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b)

（ii）有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n（行列式的值不等于0）

（iii）有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<n

定理4        n元齐次线性方程组Ax=0有非零解充要条件是R(A)<n

定理5        线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)

定理6        矩阵方程AX=B有解的充要条件是R(A)=R(A,B)

定理7        设AB=C，R(AB)<=min|R(A),R(B)|

第四章 向量组的线性相关性

向量组及其线性组合

定义1:n个有次序的数a1,a2,…,a[n],所组成的数组称为n维向量；这n个数称为该向量的n个分量，第i个数a[i]称为第i个分量

向量不特殊说明，就是列向量

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫向量组

定义2:给定向量组A(a[1],a[2],..,a[m])，对于任何一组实数k[1],k[2],…,k[m]，表达式

k[1]a[1]+k[2]a[2]+…+k[m]a[m]

称为向量组A的一个线性组合，k[1],k[2],…,k[m]称为这个线性组合的系数

向量b能由向量组A线性表示，也就是方程组

x[1]a[1]+x[2]a[2]+…+x[m]a[m]=b

定理1    向量b能由向量组A：a[1],a[2],…,a[m]线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a[1],a[2],…,a[m])的秩等于矩阵B=(a[1],a[2],…,a[m],b)的秩

定义3:设有两个向量组A:a[1],a[2],…,a[m]及B:b[1],b[2],…,b[l]，若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价。

定理2    向量组B:(b[1],b[2],…,b[l])能由向量组A:A:(a[1],a[2],…,a[m])线性表示的充分必要条件是，R(A)=R(A,B)

推论：向量组A:a[1],a[2],…,a[m]与向量组B:b[1],b[2],…,b[l]等价的充分必要条件是

R(A)=R(B)=R(A,B)

其中A和B是向量组A和向量组B所构成的矩阵

定理3     向量组B:(b[1],b[2],…,b[l]能由向量组A:a[1],a[2],…,a[m]线性表示，则R(B)<=R(A)

 

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