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Games102 学习笔记

Games 102

P2 数据拟合

拟合数据的好坏

  • 分段线性插值函数y=f1(x)y=f_1(x)y=f1(x),数据误差为0,只有C0C_0C0连续。
  • 光滑插值函数y=f2(x)y=f_2(x)y=f2(x),数据误差为0,可能被Noice带歪,导致函数性质不好,预测而不可靠
  • 逼近拟合函数y=f3(x)y=f_3(x)y=f3(x),允许一定的误差

三部曲方法论

  • 到那找:确定某个函数集合/空间
  • 找那个:度量哪个函数是好的=确定loss
  • 怎么找:求解或优化
    • 如果转化为系数的方程组是欠定的(有无穷多解),则修正模型:Lasso、岭回归、稀疏正则项

多项式插值定理

  • 拉格朗日多项式
  • 牛顿插值多项式
  • 病态问题
    • 数据微笑的变化可能会导致插值结果变化较大
  • 函数相互抵消
    • 单项式,从低次幂到高次幂占据的重要性优先级依次下降。
    • 使用正交多项式基
  • 结论
    • 多项式插值不稳定
    • 振荡现象:多项式随着插值点数的增加而摆动

多项式逼近

  • 为什么做逼近
    • 数据包含噪声
    • 追求更紧凑的表达
    • 计算简单、更稳定
  • 最小二乘逼近
    • argminf∈span(B)∑j=1m(f(xj)−yj)2\underset{f\in span(B)}{argmin}\sum\limits_{j=1}^{m}(f(x_j)-y_j)^2fspan(B)argminj=1m(f(xj)yj)2

函数空间及基函数

  • Bernstein多项式逼近
    • 基函数:bn,j=Cnjxj(1−x)n−jb_{n,j} = C_n^jx^j(1-x)^{n-j}bn,j=Cnjxj(1x)nj
  • 优势
    • 正性、权性(和为1)->凸包性
    • 变差缩减性
    • 递归线性求解方法
    • 细分性

RBF函数插值/逼近

  • RBF函数的一维形式即为Gauss函数
    • gμ,σ(x)=12πe−(x−μ)22σ2g_{\mu,\sigma}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}gμ,σ(x)=2π1e2σ2(xμ)2
  • RBF函数
    • f(x)=b0+∑i=1nbigi(x)f(x)=b_0+\sum\limits_{i=1}^n b_ig_i(x)f(x)=b0+i=1nbigi(x)

从另一个角度来看拟合函数

  • Gauss拟合函数
    • 一般的Gauss函数表达为标准Gauss函数的形式
      • gμ,σ(x)=12πe−(x−μ)22σ2=12πe−12(xσ−μσ)2=g0,1(ax+b)g_{\mu,\sigma}(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x}{\sigma}-\frac{\mu}{\sigma})^2}=g_{0,1}(ax+b)gμ,σ(x)=2π1e2σ2(xμ)2=2π1e21(σxσμ)2=g0,1(ax+b)
      • a=1σ,b=μσa=\frac{1}{\sigma},b=\frac{\mu}{\sigma}a=σ1,b=σμ
      • 这样就可以同时优化μ\muμσ\sigmaσ
      • f(x)=b0+∑i=1nbigi(x)f(x) = b_0+\sum_{i=1}^{n}b_ig_i(x)f(x)=b0+i=1nbigi(x)->f(x)=w0+∑i=1nwig0,1(aix+bi)f(x)=w_0+\sum_{i=1}^nw_ig_{0,1}(a_ix+b_i)f(x)=w0+i=1nwig0,1(aix+bi)

P3 参数曲线拟合

多元函数

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