有理函数的不定积分习题

前置知识：有理函数的不定积分

习题

计算$\int \frac{x^3+1}{x^4-3x^3+3x^2-x}dx$

解：
\qquad 将被积函数的分母因式分解得

$$x^4-3x^3+3x^2-x=x(x-1{)}^3$$

设被积函数有分解式

$$\frac{x^3+1}{x^4-3x^3+3x^2-x}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1{)}^2}+\frac{D}{(x-1{)}^3}$$

将上式右端通分合并，分母相等，分子也应相等，得

$$x^3+1=(A+B)x^3+(-3A-2B+C)x^2+(3A+B-C+D)x-A$$

可列方程组

$$\{\begin{array}{l}A+B=1\\ -3A-2B+C=0\\ 3A+B-C+D=0\\ -A=1\end{array}$$

解得

$$\{\begin{array}{l}A=-1\\ B=2\\ C=1\\ D=2\end{array}$$

所以

\qquad 原式$=-\int \frac{1}{x}dx+2\int \frac{1}{x-1}dx+\int \frac{1}{(x-1{)}^2}dx+2\int \frac{1}{(x-1{)}^3}dx$

$=-\ln |x|+2\ln |x-1|-\frac{1}{x-1}-\frac{1}{(x-1{)}^2}+C$