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有理函数的不定积分习题

前置知识:有理函数的不定积分

习题

计算 ∫ x 3 + 1 x 4 − 3 x 3 + 3 x 2 − x d x \int \dfrac{x^3+1}{x^4-3x^3+3x^2-x}dx x43x3+3x2xx3+1dx

解:
\qquad 将被积函数的分母因式分解得

x 4 − 3 x 3 + 3 x 2 − x = x ( x − 1 ) 3 x^4-3x^3+3x^2-x=x(x-1)^3 x43x3+3x2x=x(x1)3

设被积函数有分解式

x 3 + 1 x 4 − 3 x 3 + 3 x 2 − x = A x + B x − 1 + C ( x − 1 ) 2 + D ( x − 1 ) 3 \dfrac{x^3+1}{x^4-3x^3+3x^2-x}=\dfrac Ax+\dfrac{B}{x-1}+\dfrac{C}{(x-1)^2}+\dfrac{D}{(x-1)^3} x43x3+3x2xx3+1=xA+x1B+(x1)2C+(x1)3D

将上式右端通分合并,分母相等,分子也应相等,得

x 3 + 1 = ( A + B ) x 3 + ( − 3 A − 2 B + C ) x 2 + ( 3 A + B − C + D ) x − A x^3+1=(A+B)x^3+(-3A-2B+C)x^2+(3A+B-C+D)x-A x3+1=(A+B)x3+(3A2B+C)x2+(3A+BC+D)xA

可列方程组

{ A + B = 1 − 3 A − 2 B + C = 0 3 A + B − C + D = 0 − A = 1 \begin{cases} A+B=1 \\ -3A-2B+C=0 \\ 3A+B-C+D=0 \\ -A=1 \end{cases} A+B=13A2B+C=03A+BC+D=0A=1

解得

{ A = − 1 B = 2 C = 1 D = 2 \begin{cases} A=-1 \\ B=2 \\ C=1 \\ D=2 \end{cases} A=1B=2C=1D=2

所以

\qquad 原式 = − ∫ 1 x d x + 2 ∫ 1 x − 1 d x + ∫ 1 ( x − 1 ) 2 d x + 2 ∫ 1 ( x − 1 ) 3 d x =-\int \dfrac 1xdx+2\int \dfrac{1}{x-1}dx+\int \dfrac{1}{(x-1)^2}dx+2\int \dfrac{1}{(x-1)^3}dx =x1dx+2x11dx+(x1)21dx+2(x1)31dx

= − ln ⁡ ∣ x ∣ + 2 ln ⁡ ∣ x − 1 ∣ − 1 x − 1 − 1 ( x − 1 ) 2 + C \qquad\qquad =-\ln|x|+2\ln|x-1|-\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{(x-1)^2}+C =lnx+2lnx1∣x11(x1)21+C

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