有理函数的不定积分习题
前置知识:有理函数的不定积分
习题
计算 ∫ x 3 + 1 x 4 − 3 x 3 + 3 x 2 − x d x \int \dfrac{x^3+1}{x^4-3x^3+3x^2-x}dx ∫x4−3x3+3x2−xx3+1dx
解:
\qquad 将被积函数的分母因式分解得
x 4 − 3 x 3 + 3 x 2 − x = x ( x − 1 ) 3 x^4-3x^3+3x^2-x=x(x-1)^3 x4−3x3+3x2−x=x(x−1)3
设被积函数有分解式
x 3 + 1 x 4 − 3 x 3 + 3 x 2 − x = A x + B x − 1 + C ( x − 1 ) 2 + D ( x − 1 ) 3 \dfrac{x^3+1}{x^4-3x^3+3x^2-x}=\dfrac Ax+\dfrac{B}{x-1}+\dfrac{C}{(x-1)^2}+\dfrac{D}{(x-1)^3} x4−3x3+3x2−xx3+1=xA+x−1B+(x−1)2C+(x−1)3D
将上式右端通分合并,分母相等,分子也应相等,得
x 3 + 1 = ( A + B ) x 3 + ( − 3 A − 2 B + C ) x 2 + ( 3 A + B − C + D ) x − A x^3+1=(A+B)x^3+(-3A-2B+C)x^2+(3A+B-C+D)x-A x3+1=(A+B)x3+(−3A−2B+C)x2+(3A+B−C+D)x−A
可列方程组
{ A + B = 1 − 3 A − 2 B + C = 0 3 A + B − C + D = 0 − A = 1 \begin{cases} A+B=1 \\ -3A-2B+C=0 \\ 3A+B-C+D=0 \\ -A=1 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧A+B=1−3A−2B+C=03A+B−C+D=0−A=1
解得
{ A = − 1 B = 2 C = 1 D = 2 \begin{cases} A=-1 \\ B=2 \\ C=1 \\ D=2 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧A=−1B=2C=1D=2
所以
\qquad 原式 = − ∫ 1 x d x + 2 ∫ 1 x − 1 d x + ∫ 1 ( x − 1 ) 2 d x + 2 ∫ 1 ( x − 1 ) 3 d x =-\int \dfrac 1xdx+2\int \dfrac{1}{x-1}dx+\int \dfrac{1}{(x-1)^2}dx+2\int \dfrac{1}{(x-1)^3}dx =−∫x1dx+2∫x−11dx+∫(x−1)21dx+2∫(x−1)31dx
= − ln ∣ x ∣ + 2 ln ∣ x − 1 ∣ − 1 x − 1 − 1 ( x − 1 ) 2 + C \qquad\qquad =-\ln|x|+2\ln|x-1|-\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{(x-1)^2}+C =−ln∣x∣+2ln∣x−1∣−x−11−(x−1)21+C
相关文章:
有理函数的不定积分习题
前置知识:有理函数的不定积分 习题 计算 ∫ x 3 1 x 4 − 3 x 3 3 x 2 − x d x \int \dfrac{x^31}{x^4-3x^33x^2-x}dx ∫x4−3x33x2−xx31dx 解: \qquad 将被积函数的分母因式分解得 x 4 − 3 x 3 3 x 2 − x x ( x − 1 ) 3 x^4-3x^33x^2-xx…...
PS滤镜插件-Nik Collection介绍
PS滤镜插件-Nik Collection介绍 什么是Nik CollectionNik Collection都包含什么? 什么是Nik Collection Nik Collection是一款PS滤镜插件套装,其包含了八款PS插件,功能涵盖修图、调色、降噪、胶片滤镜等方面。Nik Collection 作为很多摄影师…...
力扣刷题2023-05-04-1——题目:2614. 对角线上的质数
题目: 给你一个下标从 0 开始的二维整数数组 nums 。 返回位于 nums 至少一条 对角线 上的最大 质数 。如果任一对角线上均不存在质数,返回 0 。 注意: 如果某个整数大于 1 ,且不存在除 1 和自身之外的正整数因子,…...
【Java笔试强训 2】
🎉🎉🎉点进来你就是我的人了博主主页:🙈🙈🙈戳一戳,欢迎大佬指点! 欢迎志同道合的朋友一起加油喔🤺🤺🤺 目录 一、选择题 二、编程题 🔥排序子…...
术数基础背诵口诀整理
物象对应 五行方位天干神兽季节气候星宿生成数脏器木东甲乙青龙春风岁八肝火南丙丁朱雀夏热荧惑七心土中戊己?长夏湿镇五脾金西庚辛白虎秋燥太白九肺水北壬癸玄武冬寒辰六肾 口诀:东方甲乙青龙木,南方丙丁朱雀火,戊己勾陈腾蛇土&…...
Linux 基础语法 -2
如果我们以后再Linux当中 写了一些命名,导致程序我们不能进行操作了,如这个死循环: 他就会一直输出 "hello Linux" ,我们就使用 ctrl c 来终止因为程序或者指令异常,而导致我们无法进行指令输入ÿ…...
深度学习框架发展趋势
深度学习方法的发展是推动深度学习框架进步的最大动力,因此深度学习框架的功能和设计应顺应 算法和模型的发展趋势: 第一,易用性。深度学习领域仍处于快速发展期,参与者和学习者不断增加,新模型大量提出。因 此&#…...
Mysql为json字段创建索引的两种方式
目录 一、前言二、通过虚拟列添加索引(Secondary Indexes and Generated Columns)三、多值索引(Using multi-valued Indexes)四、官网地址 一、前言 JSON 数据类型是在mysql5.7版本后新增的,同 TEXT,BLOB …...
cassandra数据库入门-4
插入数据 在表中创建数据 您可以使用命令 INSERT 将数据插入表中一行的列中。 下面给出了在表中创建数据的语法。 INSERT INTO <tablename> (<column1 name>, <column2 name>....) VALUES (<value1>, <value2>....) USING <option> 例子…...
微服务学习——分布式搜索
初识elasticsearch 什么是elasticsearch elasticsearch是一款非常强大的开源搜索引擎,可以帮助我们从海量数据中快速找到需要的内容。 elasticsearch结合kibana、Logstash、Beats,也就是elastic stack(ELK)。被广泛应用在日志数据分析、实时监控等领域…...
ChatGPT根据销售数据、客户反馈、财务报告,自动生成报告,并根据不同利益方的需要和偏好进行调整?
该场景对应的关键词库(24个): 汇报对象身份(下属、跨部门平级、领导)、销售数据(销售额、销售量、销售渠道)、财务报告(营业收入、净利润、成本费用)、市场分析…...
Flask开发之环境搭建
目录 1、安装flask 2、创建Flask工程 编辑 3、初始化效果 4、运行效果 5、设置Debug模式 6、设置Host 7、设置Port 8、在app.config中添加配置 1、安装flask 如果电脑上从没有安装过flask,则在命令行界面输入以下命令: pip install flask 如果电…...
Java集合框架与ArrayList、LinkedList的区别
文章目录 Java集合框架与ArrayList、LinkedList的区别集合框架ArrayList特点操作 LinkedList特点操作 区别代码实践注意事项 Java集合框架与ArrayList、LinkedList的区别 在Java中,集合框架是非常重要的一部分。集合框架提供了各种数据结构和算法,可以方…...
python-pandas库
目录 目录 目录 1.pandas库简介(https://www.gairuo.com/p/pandas-overview) 2.pandas库read_csv方法(https://zhuanlan.zhihu.com/p/340441922?utm_mediumsocial&utm_oi27819925045248) 1.pandas库简介(http…...
C++学习day--01 C生万物
1、C/C学习中遇到的问题: 1. 大部分初学者,学习 C/C 都是从入门到放弃。 C/C太难吗? 2. 90% 以上的初学者,学完 C/C 以后,考试完了,书看完了, 但还是不会做项目 是学的不够好吗࿱…...
链表及链表的常见操作和用js封装一个链表
最近在学数据结构和算法,正好将学习的东西记录下来,我是跟着一个b站博主学习的,是使用js来进行讲解的,待会也会在文章后面附上视频链接地址,大家想学习的可以去看看 本文主要讲解单向链表,双向链表后续也会…...
源码安装工具checkinstall使用
每当从源码包编译程序时,安装过程很愉快,但当你想删除时,就很费脑筋了,你可能要去找你当时编译的目录执行make unistall,当然更可能的是,你早就把源码包给删除了,对于强迫症来说,这显…...
离散数学集合论
集合论 主要内容 集合基本概念 属于、包含幂集、空集文氏图等 集合的基本运算 并、交、补、差等 集合恒等式 集合运算的算律,恒等式的证明方法 集合的基本概念 集合的定义 集合没有明确的数学定义 理解:由离散个体构成的整体称为集合,…...
TypeScript 基础
类型注解 类型注解:约束变量的类型 示例代码: let age:number 18 说明:代码中的 :number 就是类型注解 解释:约定了类型,就只能给变量赋值该类型的值,否则,就会报错 错误演示:…...
MySQL InnoDB引擎 和 Oracle SGA
MySQL InnoDB引擎和Oracle SGA有以下异同: 异同点: 两者都是用来管理数据存储和访问的。 它们都可以通过调整参数来优化性能。 它们都支持事务处理和ACID属性。 它们都可以通过备份和恢复来保护数据。 异点: MySQL InnoDB引擎是一种存储…...
M9A智能助手:《重返未来:1999》自动化管理解决方案
M9A智能助手:《重返未来:1999》自动化管理解决方案 【免费下载链接】M9A 1999 小助手 项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/m9/M9A 玩家在《重返未来:1999》中常面临日常任务繁琐、资源管理复杂、多账号操作效率低等问题。M9A智…...
java 短信验证码接口开发面向接口编程实现
在Java企业级后端开发中,短信验证码是用户登录、注册、密码重置的核心身份验证方案,java短信验证码接口的规范化开发直接决定系统的扩展性与维护性。传统硬编码开发模式存在耦合度高、服务商切换困难等问题,本文基于面向接口编程思想…...
如何突破英雄联盟操作效率瓶颈?League-Toolkit的5大革新功能解析
如何突破英雄联盟操作效率瓶颈?League-Toolkit的5大革新功能解析 【免费下载链接】League-Toolkit 兴趣使然的、简单易用的英雄联盟工具集。支持战绩查询、自动秒选等功能。基于 LCU API。 项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/le/League-Toolkit 在快…...
三行六列16车位立体车库mcgs6.2仿真程序
三行六列16车位立体车库mcgs6.2仿真程序立体车库仿真程序最让人上头的就是运动逻辑设计。今天拆解一个三行六列布局的MCGS6.2项目,看看如何用脚本驱动16个车位的升降动画。注意这里的车位排布有点特殊——虽然看起来是3*6的矩阵,但实际有两处隐藏车位被改…...
3大核心功能让你轻松掌握League-Toolkit英雄联盟辅助工具
3大核心功能让你轻松掌握League-Toolkit英雄联盟辅助工具 【免费下载链接】League-Toolkit 兴趣使然的、简单易用的英雄联盟工具集。支持战绩查询、自动秒选等功能。基于 LCU API。 项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/le/League-Toolkit League-Toolkit是一款基…...
别再只调包了!手把手拆解OpenCV车位识别核心代码:像素统计、背景建模与形态学处理
从像素到决策:OpenCV车位识别核心技术实战解析 停车场监控画面中那些看似简单的"空"或"满"状态判定,背后隐藏着一系列精妙的图像处理魔法。今天,我们将抛开现成的API,直接解剖计算机视觉在车位检测中的核心算…...
LED照明设计必看:TIR透镜在LightTools中的准直与均匀优化技巧
LED照明设计进阶:TIR透镜在LightTools中的高效准直与均匀优化实战 在LED照明设计领域,TIR(全内反射)透镜因其独特的光学特性已成为高端照明产品的核心组件。与传统的平凸透镜和反光杯相比,TIR透镜能够同时处理小角度和…...
html+css+js创意小游戏~记忆卡片配对(附源码)
1. 从零开始打造记忆卡片配对游戏 最近在教家里小朋友认动物,突然想到可以用前端三件套做个记忆卡片小游戏。这个项目特别适合刚学完HTML/CSS基础,想练手JavaScript的朋友。我自己第一次写这个游戏时,只用了不到100行代码就实现了核心功能&am…...
LeetCode 1423. 可获得的最大点数【定长滑窗,逆向和正向思维】1574
本文属于「征服LeetCode」系列文章之一,这一系列正式开始于2021/08/12。由于LeetCode上部分题目有锁,本系列将至少持续到刷完所有无锁题之日为止;由于LeetCode还在不断地创建新题,本系列的终止日期可能是永远。在这一系列刷题文章…...
WebSocket消息压缩终极指南:如何平衡性能与带宽的完整实践
WebSocket消息压缩终极指南:如何平衡性能与带宽的完整实践 【免费下载链接】async-http-client Asynchronous Http and WebSocket Client library for Java 项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/as/async-http-client 在现代实时应用中,We…...
