分部积分法习题

前置知识：分部积分法

例题

计算积分$I_n=\int [(x+a{)}^2+b^2{]}^{-k}dx(n\ge 1)$

解：
\qquad 用分部积分法，对任何自然数$k\ge 1$，有

$I_k=\int \frac{dx}{[(x+a{)}^2+b^2]}dx=\frac{x+a}{[(x+a{)}^2+b^2{]}^k}+2k\int \frac{(x+a{)}^2}{[(x+a{)}^2+b^2{]}^{k+1}}dx$

$=\frac{x+a}{[(x+a{)}^2+b^2{]}^k}+2k\int [\frac{1}{((x+a{)}^2+b^2{)}^k}-\frac{b^2}{((x+a{)}^2+b^2{)}^{k+1}}]dx$

$=\frac{x+a}{[(x+a{)}^2+b^2{]}^k}+2k{I}_k-2k{b}^2\cdot I_{k+1}$

由此可得$I_k$的递推公式为

$I_{k+1}=\frac{1}{2k{b}^2}[x(x^2+b^2{)}^{-k}+(2k-1)I_k]$

当$k=1$时，直接计算可得

$I_1=\int \frac{1}{(x+a{)}^2+b^2}dx=\frac{1}{b}\int \frac{d(\frac{x+a}{b})}{1+(\frac{x+a}{b}{)}^2}=\frac{1}{b}\arctan (\frac{x+a}{b})+C$

再由递推公式可得$I_2,I_3.\dots ,I_n$的表达式。