自动控制原理笔记-根轨迹法

目录

一，根轨迹的基本概念

1.根轨迹的基本概念

2.根轨迹方程

3.根轨迹方程的应用 

二，根轨迹的绘制规则

【规则一】根轨迹有n条分支：

【规则二】根轨迹对称于实轴：

【规则三】根轨迹的起点和终点：

【规则四】实轴上的根轨迹：

【规则五】根轨迹的渐近线：

【规则六】根轨迹的分离、会合点：

【规则七】出射角（起始角）和入射角（终止角）：

【规则八】根轨迹与虚轴的交点：

【规则九】根之和与根之积： 

小   结 ：

三，系统零极点分布与响应的关系     

闭环极点对系统阶跃响应的影响：

闭环零点对系统阶跃响应的影响：

闭环偶极子：

四，利用根轨迹解决工程问题

一、求控制参数（增益）的稳定边界

二、使系统具有单调过渡过程的增益范围：

三、满足调整时间要求的控制参数（增益）：

四、满足超调量要求的系统增益：

五，广义根轨迹

一、参数（量）根轨迹的绘制：

二、零度根轨迹：

六，根轨迹校正

一、根轨迹的改造：

二、根轨迹校正反馈系统 

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一，根轨迹的基本概念

       1.根轨迹的基本概念

闭环传递函数决定控制系统的性能：

稳定性（闭环极点位于s左半平面）快速性（动态性能:取决于闭环极点和零点）准确性（静态误差:取决于型别、开环增益和输入）

                

高阶系统的闭环极点难以计算，因此需要探索不求解高阶代数方程，也能确定系统的 闭环特征根（闭环极点） 、进而分析系统闭环动态特性的有效方法。

根轨迹法 (Root locus method): 利用控制系统的 开环极点 求其 闭环极点 的一种作图法

根轨迹： 系统中某个参量由零到无穷大变化时，其闭环极点在 s 平面上移动的 轨迹 。

根轨迹法： 不用求解闭环特征方程，而利用开环零极点求出闭环极点的轨迹，研究系统性能的方法。
根轨迹法的特点 ： 1 ）图解法，形象、直观； 2）近似方法。3）适合研究某一参数变化时系统的性能。

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2.根轨迹方程

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3.根轨迹方程的应用 

1. 根据角条件绘制根轨迹(充要条件)

2. 根据模条件确定根轨迹增益

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二，根轨迹的绘制规则

        在根轨迹图中，“   ”表示开环极点，“   ”表示开环零点。粗实线表示根轨迹，箭头表示参数增加的方向。

【规则一】根轨迹有n条分支：

        n阶实系数代数方程在复数域有n个根，因此n阶系统的根轨迹有n条分支。

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【规则二】根轨迹对称于实轴：

        实系数的闭环特征（代数）方程的根必对称于实轴。

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【规则三】根轨迹的起点和终点：

        根轨迹方程为：

亦称系统有n-m个无限远零点。有限值零点加无穷远零点的个数等于极点数（=根轨迹条数=系统阶次n）。

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【规则四】实轴上的根轨迹：

若实轴上某一线段的右边，开环零点和开环极点的数目之和为奇数（odd），则该线段为根轨迹的一部分。

若实轴上某一线段的右边，开环零点和开环极点的数目之和为奇数，则该线段为根轨迹的一部分。

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【规则五】根轨迹的渐近线：

k→∞时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条。这n-m条根轨迹趋向无穷远的方向由渐近线决定。

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 【规则六】根轨迹的分离、会合点：

        不同的根轨迹分支在s平面上相交的点，称为根轨迹的分离、会合点。

        分离、会合点的求法：

        ①求导法：根轨迹在实轴上的分离、会合点表示这些点是闭环特征方程的重根点。        

        

注意：由上式可求得的点是分离、会合点必要条件，还需求出这些点对应的增益，若增益为大于零的实数，则所求出的点为分离、会合点。

        ②工程法：

        

定理：当系统有2个开环极点、 1个或2个开环零点，并且在复平面上有根轨迹时，则复平面上的根轨迹一定是以零点为圆心的圆弧

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【规则七】出射角（起始角）和入射角（终止角）：

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 【规则八】根轨迹与虚轴的交点：

根轨迹和虚轴相交时，闭环特征方程有一对共轭纯虚根，系统处于临界稳定状态。这时的增益  称为临界根轨迹增益。

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【规则九】根之和与根之积： 

        

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小   结 ：

需掌握绘制根轨迹的九条规则：

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三，系统零极点分布与响应的关系     

        控制系统的闭环极点、零点与系统的稳定性及动态性能有密切关系。闭环零点与开环零点相同，闭环极点由根轨迹方程表示出来。

闭环极点对系统阶跃响应的影响：

单位阶跃响应为：

   响应输出为叠加而成的信号，与 模态、分量大小 有关。

（1）稳定性：sj应位于s左半平面；

（2）快速性：极点尽可能远离虚轴；

（3）平稳性：振荡要小，接近最佳阻尼比；

（4）利用闭环主导极点进行高阶系统的近似处理；

（5）闭环零点可以削弱其附近闭环极点对系统的影响（对应的留数小）。

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闭环零点对系统阶跃响应的影响：

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闭环偶极子：

闭环偶极子：复平面上很接近的一对闭环零极点

相对于其他零极点，相互距离在1/10以下的一对闭环偶极子对系统响应的影响可以忽略。

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四，利用根轨迹解决工程问题

一、求控制参数（增益）的稳定边界

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二、使系统具有单调过渡过程的增益范围：

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三、满足调整时间要求的控制参数（增益）：

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 四、满足超调量要求的系统增益：

利用根轨迹解决工程问题，实际上是根据系统性能指标的要求，求出主导极点在s平面的分布区域

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五，广义根轨迹

一、参数（量）根轨迹的绘制：

绘制参数根轨迹，需由系统的闭环特征方程导出一个新的等效开环传递函数Go1(s)。 在Go1(s)中，可变参数的位置与常规根轨迹中的根增益 k 位置相同。

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二、零度根轨迹：

零度根轨迹的绘制规则：

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六，根轨迹校正

一、根轨迹的改造：

1、增加开环零点对根轨迹的影响：

      1）改变了根轨迹在实轴上的分布；

      2）改变了渐近线的条数、与实轴的交点、夹角；

      3）可以抵消对系统不利的闭环极点（构成偶极子）；

      4）根轨迹左移（零点要适当），对稳定性有利；

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2、增加开环极点对根轨迹的影响

      1）改变了根轨迹的条数；

      2）改变了根轨迹在实轴上的分布；

      3）改变了渐近线的条数、与实轴的交点、夹角；

      4）根轨迹右移（极点要适当），对稳定性不利；

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3、 增加开环偶极子对根轨迹的影响

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二、根轨迹校正反馈系统 

step: 1）暂态性能指标→期望的闭环主导极点；

            2）绘制原系统的根轨迹，确定是否增加校正装置；

            3）校正后系统根轨迹通过期望闭环主导极点，检验开环比例系数是否满足静态指 标（否则，增加开环偶极子以改善之）；

            4）检验暂、静态指标。