算法导论—路径算法总结
图算法
单源最短路径
Bellman-Ford算法：
- 顶点为V，边为E的图
- 对每条边松弛|V|-1次
- 边权可以为负值
- 若存在一个可以从源结点到达的权值为负值的环路，算法返回False
- 时间复杂度：O(VE)
有向无环图单源最短路径
- DAG-SHORTEST-PATHS
- 算法首先对有向无环图进行拓扑排序
- 即使存在权值为负的边，也因为没有权值为负的环路，最短路径是存在的
- 时间复杂度：O(V+E)对于邻接表表示的图，这个时间为线性级
Dijkstra算法
- 顶点为V，边为E的图
- 对每条边仅松弛1次
- 边权不可为负
- 运行过程维护一组结点集合S
- 使用贪心策略，每次选择集合V-S中最“近”的结点加入集合S
- 利用结点编号维持最小优先队列,时间复杂度为：O(V2+E)=O(V2)
- 如果是稀疏图，可以利用二叉堆实现最小优先队列，时间复杂度:O(ElgV)
- 利用斐波那契堆实现最小优先队列，时间复杂度：O(VlgV+E)
所有结点对的最短路径问题
Floyd-Warshall算法
- 顶点为V，边为E的图
- 使用动态规划公式解决所有结点对最短路径问题
- 时间复杂度：O(V3)
- 可以有负权值的边，但不可以有负权值环路
Johnson算法
- 用于稀疏图
- 要么返回一个包含所有结点对的最短路径权重的矩阵，要么报告输入图包含一个权重为负值的环路
- 通过重新赋值来生成非负权重
- 时间复杂度：斐波那契堆：O(V2lgV+VE)，二叉最小堆：O(VElgV)
- 运行中需要使用Dijkstra算法和Bellman-Ford算法作为自己的子程序
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