概率论：样本与总体分布，Z分数与概率

参考书目：《行为科学统计精要》（第八版）——弗雷德里克·J·格雷维特

数据及其样本的分布

描述一组数据分布

 

描述一组样本数据的分布

描述样本数据的均值和整体数据一样，但是样本标准差的公式除以了n-1，这里引入自由度的概念

自由度：如果均值确定，那么n个数据组成的样本中，只有n-1个数据的取值是自由的，最后一个数据等于n*均值减去其余n-1个值的和

Z分位数 

Z分位数描述的是一个数据在整组数据中的位置：即：当前值x距离总体均值有多少个标准差的距离

 

Z分位数因为是描述分布位置的，所以我们通常在去量纲单位（标准化为0-1的分布）的处理中经常用到，因为不管数据单位是时分秒，十万百万千万，在观测某个数值在整体分布中的位置，衡量标准都是一样的，不受单位影响。

 

Z分位数可以帮助判断一个样本是不是异常值，也就是根据一个数据在整组数据中的Z分位数值，对应找到这个数据在整组数据中出现的概率，具体数值参考标准正态分布表，如下图

 也就是说，如果Z分位数大于1.96，那么数据出现的概率小于1-97.5%=2.5%，对应的因为是标准正态分布，所以Z分位数小于1.96，对应数据出现的概率也是同样小于2.5%

总体和样本

如果Z分位数衡量的是，一个数值在整体数值中出现的概率大小。换句话说Z分位数可以表示，这个数值是能代表整体的，还是说是个异常值

那么，按照这个思路，我们如何衡量在一个整体中随机挑选N个数值组成的样本是否能代表整体

我们直观感受，影响这个结论的因素有三点：

1、样本均值和总体均值是否相近（M-μ），越相近说明越能代表总体

2、总体分布方差，总体数据的离散度越小选中的样本越有代表性，极端情况总体数据都是一样的值，那么无论怎么选，样本分布都和总体分布一致

3、样本量大小（n)，样本量越大越能体现整体，极端情况样本量最大等于整体数据量

将以上三个因素结合Z分位数的计算思路，我们引出样本Z分位数

 

如果Z分位数过大或者过小，那么说明不大可能从总体中抽中这样的样本。