《算法导论》拓展之 一维二维最近点对问题

一维点对问题

描述：一维最近点对问题是指在给定的一维点集中找到距离最近的两个点。具体来说，给定一维坐标轴上的 n 个点，要找出其中的两个点，使它们的距离最小。
解决办法：解决这个问题的一种常见方法是使用排序和线性扫描。下面是这种算法的一般步骤：

1. 排序：将点集按照坐标从小到大进行排序。
2. 初始化最小距离：设定初始最小距离为正无穷大。
3. 线性扫描：从左到右遍历排序后的点集。对于每个点，计算它与其右边相邻点的距离，并更新最小距离。
4. 返回最小距离。
   通过对点集进行排序，可以保证相邻的点在坐标上是接近的，因此只需要线性扫描一次即可找到最小距离的点对。该算法的时间复杂度为 O(n log n)，其中 n 是点集中点的数量。
   需要注意的是，在实际实现中，可以使用欧几里得距离公式计算点对之间的距离，并且在处理边界情况时要注意边界的处理和优化，以提高算法的效率。
   总结来说，一维最近点对问题通过排序和线性扫描的方法解决。该算法利用了排序后点在坐标上的接近性，通过线性扫描找到最小距离的点对。
   代码实现：
   下面的这段代码实现了一个找出排序后数组中相邻元素差值最小的算法。其主要思路如下：
5. 首先定义了一个全局常量 N，用于表示输入数组的最大长度。同时定义了一个数组 A，用于保存输入的数组。
6. 实现了一个名为 closet_pot 的递归函数，用于在指定区间内查找相邻元素差值的最小值.
   首先，判断区间的大小。如果区间只有一个元素，返回正无穷表示不存在相邻元素。
   • 如果区间只有两个元素，直接返回这两个元素的差值。
   • 否则，将区间分为两个子区间，分别递归调用 closet_pot 函数。
   • 得到左子区间的最小差值 a，右子区间的最小差值 b。
   • 然后取 a 和 b 中的较小值作为当前区间的最小差值 Min。
   • 还需要比较当前区间中相邻两个元素的差值，即 A[mid+1] - A[mid]，将其与 Min 比较，更新 Min。
   • 最后，返回 Min 作为当前区间的最小差值。
7. 在 main 函数中，首先读取输入的数组大小 n。
8. 然后，通过循环读取 n 个整数，将它们保存到数组 A 中。
9. 接下来，对数组 A 进行排序，以便找出相邻元素差值的最小值。
10. 调用 closet_pot 函数，并传入数组的起始下标 0 和结束下标 n-1。
11. 输出最小差值结果。
12. 最后，使用 system(“pause”) 命令使程序暂停，防止控制台窗口关闭。
    总结来说，这段代码通过递归的方式，在排序后的数组中查找相邻元素差值的最小值。通过不断地将区间划分为更小的子区间，并比较子区间的最小差值，最终找到整个数组中相邻元素差值的最小值。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <climits>
#include <vector>
using namespace std;int closet_pot(vector<int>& A, int p, int q)
{if (p == q)return INT_MAX;if (p == q - 1)return A[q] - A[p];int mid = (p + q) / 2;int a = closet_pot(A, p, mid);int b = closet_pot(A, mid + 1, q);int Min = min(a, b);Min = min(Min, A[mid + 1] - A[mid]);return Min;
}int main()
{int n;cin >> n;vector<int> A(n);for (int i = 0; i < n; i++)cin >> A[i];sort(A.begin(), A.end());cout << closet_pot(A, 0, n - 1) << endl;return 0;
}

二维点对问题

描述：二维平面上的最近点对问题是指在给定的点集中找到距离最近的两个点对。具体来说，给定平面上的 n 个点，要找出其中的两个点，使它们的距离最小。

解决办法：解决这个问题的一种常见方法是使用分治算法。下面是这种算法的一般步骤：

1. 排序：按照点的 x 坐标进行排序，从左到右对点集进行排序。
2. 基本情况处理：如果点集中只有两个或三个点，可以直接计算它们之间的距离，并找到最小距离的点对。
3. 分割：将点集平均地分成两个子集，左边和右边。取中间点将平面分成两个部分。
4. 递归求解：对左右两个子集递归地应用最近点对算法，得到左边和右边的最近点对。
5. 合并：计算左右两个子集的最近点对的距离。然后，从两个子集中选择距离更小的点对作为当前最近点对。
6. 跨越边界：接下来需要考虑跨越两个子集边界的最近点对。为了找到这些点对，以中间点为界限，向左右两侧延伸一个距离为当前最小距离的区域。
7. 在跨越边界区域内，使用简单的扫描方法，计算可能的最近点对。由于该区域内的点的数量是有限的，因此复杂度仍然是线性的。
8. 最后，从左右两个子集的最近点对和跨越边界区域的最近点对中选择距离最小的点对作为最终的最近点对。
   通过分治策略，最近点对问题的时间复杂度可以控制在 O(n log n) 的级别。
   注意：在实际实现中，可以使用欧几里得距离公式计算点对之间的距离，并且在处理边界情况时要注意边界的处理和优化，以提高算法的效率。
   总结：二维平面上的最近点对问题通过将点集进行排序、分割、递归求解、合并和跨越边界的步骤来解决。该算法利用了分治的思想，通过逐步缩小问题规模并处理边界情况，找到平面上距离最近的两个点对。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <limits>using namespace std;struct Point {double x;double y;
};bool compareX(const Point& p1, const Point& p2) {return p1.x < p2.x;
}bool compareY(const Point& p1, const Point& p2) {return p1.y < p2.y;
}double euclideanDistance(const Point& p1, const Point& p2) {double dx = p2.x - p1.x;double dy = p2.y - p1.y;return sqrt(dx * dx + dy * dy);
}double bruteForce(const vector<Point>& points, int start, int end) {double minDist = numeric_limits<double>::max();for (int i = start; i <= end; ++i) {for (int j = i + 1; j <= end; ++j) {double dist = euclideanDistance(points[i], points[j]);minDist = min(minDist, dist);}}return minDist;
}double closestPairUtil(const vector<Point>& points, int start, int end) {if (end - start <= 2) {return bruteForce(points, start, end);}int mid = (start + end) / 2;double midX = points[mid].x;double dl = closestPairUtil(points, start, mid);double dr = closestPairUtil(points, mid + 1, end);double d = min(dl, dr);vector<Point> strip;for (int i = start; i <= end; ++i) {if (abs(points[i].x - midX) < d) {strip.push_back(points[i]);}}sort(strip.begin(), strip.end(), compareY);double stripMin = d;int stripSize = strip.size();for (int i = 0; i < stripSize; ++i) {for (int j = i + 1; j < stripSize && (strip[j].y - strip[i].y) < stripMin; ++j) {double dist = euclideanDistance(strip[i], strip[j]);stripMin = min(stripMin, dist);}}return min(d, stripMin);
}double closestPair(const vector<Point>& points) {int n = points.size();vector<Point> sortedPoints = points;sort(sortedPoints.begin(), sortedPoints.end(), compareX);return closestPairUtil(sortedPoints, 0, n - 1);
}int main() {vector<Point> points = { {2, 3}, {12, 30}, {40, 50}, {5, 1}, {12, 10}, {3, 4} };double minDist = closestPair(points);cout << "最近点对的距离: " << minDist << endl;return 0;
}