代码随想录第55天
1.判断子序列:
动态规划五部曲分析如下:
- 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串s,和以下标j-1为结尾的字符串t,相同子序列的长度为dp[i][j]。
注意这里是判断s是否为t的子序列。即t的长度是大于等于s的。
如果t的长度小于s那直接return false,如果s的长度为0,是return true;
有同学问了,为啥要表示下标i-1为结尾的字符串呢,为啥不表示下标i为结尾的字符串呢?
为什么这么定义我在 718. 最长重复子数组 (opens new window)中做了详细的讲解。
其实用i来表示也可以!
但我统一以下标i-1为结尾的字符串来计算,这样在下面的递归公式中会容易理解一些,如果还有疑惑,可以继续往下看。
2.确定递推公式
在确定递推公式的时候,首先要考虑如下两种操作,整理如下:
- if (s[i - 1] == t[j - 1])
- t中找到了一个字符在s中也出现了
- if (s[i - 1] != t[j - 1])
- 相当于t要删除元素,继续匹配
if (s[i - 1] == t[j - 1]),那么dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;,因为找到了一个相同的字符,相同子序列长度自然要在dp[i-1][j-1]的基础上加1(如果不理解,在回看一下dp[i][j]的定义)
if (s[i - 1] != t[j - 1]),此时相当于t要删除元素,t如果把当前元素t[j - 1]删除,那么dp[i][j] 的数值就是 看s[i - 1]与 t[j - 2]的比较结果了,即:dp[i][j] = dp[i][j - 1];
其实这里 大家可以发现和 1143.最长公共子序列 (opens new window)的递推公式基本那就是一样的,区别就是 本题 如果删元素一定是字符串t,而 1143.最长公共子序列 是两个字符串都可以删元素。
3.dp数组如何初始化
从递推公式可以看出dp[i][j]都是依赖于dp[i - 1][j - 1] 和 dp[i][j - 1],所以dp[0][0]和dp[i][0]是一定要初始化的。
这里大家已经可以发现,在定义dp[i][j]含义的时候为什么要表示以下标i-1为结尾的字符串s,和以下标j-1为结尾的字符串t,相同子序列的长度为dp[i][j]。
因为这样的定义在dp二维矩阵中可以留出初始化的区间,如图:
如果要是定义的dp[i][j]是以下标i为结尾的字符串s和以下标j为结尾的字符串t,初始化就比较麻烦了。
dp[i][0] 表示以下标i-1为结尾的字符串,与空字符串的相同子序列长度,所以为0. dp[0][j]同理。
vector<vector<int>> dp(s.size() + 1, vector<int>(t.size() + 1, 0));
4.确定遍历顺序
同理从递推公式可以看出dp[i][j]都是依赖于dp[i - 1][j - 1] 和 dp[i][j - 1],那么遍历顺序也应该是从上到下,从左到右
如图所示:
5.举例推导dp数组
以示例一为例,输入:s = "abc", t = "ahbgdc",dp状态转移图如下:
dp[i][j]表示以下标i-1为结尾的字符串s和以下标j-1为结尾的字符串t 相同子序列的长度,所以如果dp[s.size()][t.size()] 与 字符串s的长度相同说明:s与t的最长相同子序列就是s,那么s 就是 t 的子序列。
图中dp[s.size()][t.size()] = 3, 而s.size() 也为3。所以s是t 的子序列,返回true。
动规五部曲分析完毕,C++代码如下:
class Solution {
public:bool isSubsequence(string s, string t) {vector<vector<int>> dp(s.size() + 1, vector<int>(t.size() + 1, 0));for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {for (int j = 1; j <= t.size(); j++) {if (s[i - 1] == t[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;else dp[i][j] = dp[i][j - 1];}}if (dp[s.size()][t.size()] == s.size()) return true;return false;}
};
2.不同的子序列:
这道题目如果不是子序列,而是要求连续序列的,那就可以考虑用KMP。
这道题的问题就是s里边删除元素变成t的方法数
动规五部曲分析如下:
- 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
dp[i][j]:以i-1为结尾的s子序列中出现以j-1为结尾的t的个数为dp[i][j]。
为什么i-1,j-1 这么定义我在 718. 最长重复子数组 (opens new window)中做了详细的讲解。
2.确定递推公式
这一类问题,基本是要分析两种情况
- s[i - 1] 与 t[j - 1]相等
- s[i - 1] 与 t[j - 1] 不相等
当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时,dp[i][j]可以有两部分组成。
一部分是用s[i - 1]来匹配,那么个数为dp[i - 1][j - 1]。即不需要考虑当前s子串和t子串的最后一位字母,所以只需要 dp[i-1][j-1]。
在判断子序列中这里是加1的,那这道题为什么不加1?
因为判断子序列中求的是s和t的相同子序列的长度;而这道题求的是s里边删除元素变成t的方法数,所以当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时,方法数不变
一部分是不用s[i - 1]来匹配,个数为dp[i - 1][j]。
这里可能有录友不明白了,为什么还要考虑 不用s[i - 1]来匹配,都相同了指定要匹配啊。
例如: s:bagg 和 t:bag ,s[3] 和 t[2]是相同的,但是字符串s也可以不用s[3]来匹配,即用s[0]s[1]s[2]组成的bag。
当然也可以用s[3]来匹配,即:s[0]s[1]s[3]组成的bag。
所以当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时,dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
首先他是方法数,然后dp[i][j]是以s[i-1]为结尾的s的子序列中找以j-1为结尾的t(dp数组的含义),其实他是由dp[i-1][j]为基础推出来的,只不过是当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时多了一个情况,就是以s[i-1]为结尾去代替dp[i-1][j]种方法中的结尾字母,最后是把他们加起来,相当于dp[i - 1][j - 1]是增量。
这个不相等时就相当于没有增量。
当s[i - 1] 与 t[j - 1]不相等时,dp[i][j]只有一部分组成,不用s[i - 1]来匹配(就是模拟在s中删除这个元素),即:dp[i - 1][j]
所以递推公式为:dp[i][j] = dp[i - 1][j];
这里可能有录友还疑惑,为什么只考虑 “不用s[i - 1]来匹配” 这种情况, 不考虑 “不用t[j - 1]来匹配” 的情况呢。
这里大家要明确,我们求的是 s 中有多少个 t,而不是 求t中有多少个s,所以只考虑 s中删除元素的情况,即 不用s[i - 1]来匹配 的情况。
3.dp数组如何初始化
从递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]; 和 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 中可以看出dp[i][j] 是从上方和左上方推导而来,如图:,那么 dp[i][0] 和dp[0][j]是一定要初始化的。
每次当初始化的时候,都要回顾一下dp[i][j]的定义,不要凭感觉初始化。
dp[i][0]表示什么呢?
dp[i][0] 表示:以i-1为结尾的s可以随便删除元素,出现空字符串的个数。
那么dp[i][0]一定都是1,因为也就是把以i-1为结尾的s,删除所有元素,出现空字符串的个数(也就是方法数)就是1。
再来看dp[0][j],dp[0][j]:空字符串s可以随便删除元素,出现以j-1为结尾的字符串t的个数。
那么dp[0][j]一定都是0,s如论如何也变成不了t。
最后就要看一个特殊位置了,即:dp[0][0] 应该是多少。
dp[0][0]应该是1,空字符串s,可以删除0个元素,变成空字符串t。
初始化分析完毕,代码如下:
vector<vector<long long>> dp(s.size() + 1, vector<long long>(t.size() + 1));
for (int i = 0; i <= s.size(); i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 1; j <= t.size(); j++) dp[0][j] = 0; // 其实这行代码可以和dp数组初始化的时候放在一起,但我为了凸显初始化的逻辑,所以还是加上了。
4.确定遍历顺序
从递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]; 和 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 中可以看出dp[i][j]都是根据左上方和正上方推出来的。
所以遍历的时候一定是从上到下,从左到右,这样保证dp[i][j]可以根据之前计算出来的数值进行计算。
代码如下:
for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {for (int j = 1; j <= t.size(); j++) {if (s[i - 1] == t[j - 1]) {dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];} else {dp[i][j] = dp[i - 1][j];}}
}
5.举例推导dp数组
以s:"baegg",t:"bag"为例,推导dp数组状态如下:
动规五部曲分析完毕,代码如下:
class Solution {
public:int numDistinct(string s, string t) {vector<vector<uint64_t>> dp(s.size() + 1, vector<uint64_t>(t.size() + 1));for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][0] = 1;for (int j = 1; j < t.size(); j++) dp[0][j] = 0;for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {for (int j = 1; j <= t.size(); j++) {if (s[i - 1] == t[j - 1]) {dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];} else {dp[i][j] = dp[i - 1][j];}}}return dp[s.size()][t.size()];}
};
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uint64_t.min=0 uint64_t.max=18446744073709551615
这里用uint32_t也可以
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