Fisher准则例题——给定类内散度矩阵和类样本均值

设有两类样本，两类样本的类内散度矩阵分别为

$$S_1=\left(\begin{array}{cc}1& 1/2\\ 1/2& 1\end{array}\right),S_2=\left(\begin{array}{cc}1& -1/2\\ -1/2& 1\end{array}\right)$$

各类样本均值分别为

$${\mu }_1=(2,0{)}^{\top }\text{ 和 }{\mu }_2=(2,2{)}^{\top }$$

利用 Fisher 准则求其决策面方程（假定分类阈值点为均值），并求新样本$(1,1{)}^{\top }$ 属于哪类？

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解：

$$S_{\mathbf{w}}=S_1+S_2=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$$

$$S_{\mathbf{w}}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1/2& 0\\ 0& 1/2\end{array}\right)$$

$$\mathbf{w}=S_{\mathbf{w}}^{-1}({\mu }_1-{\mu }_2)=(0,-1{)}^{\top }$$

$$y_0^{\ast }={\mathbf{w}}^{\top }\frac{{\mu }_1+{\mu }_2}{2}=(0,-1)(2,1{)}^{\top }=-1$$

$${\mathbf{w}}^{\top }(1,1{)}^{\top }=-1=y_0^{\ast }$$