不同视角理解三维旋转

在二维空间中，绕任意点旋转可以分解为：

    1）平移旋转点到原点，2）绕原点旋转，3）逆平移旋转点；

    可用矩阵表示为 

，

    其中，

 表示绕原点旋转 

，

 为平移矩阵。

   在三维空间中绕任意轴旋转一个对象，可以分解为分别绕不同轴旋转一定角度。

   1 绕三维坐标轴旋转

      设 x,y,z 为三个正交方向上的单位向量，将他们构成三维空间坐标需要满足以下叉乘关系：

      

；

      定义绕各个坐标轴旋转方向如下图：

      

      当任意点绕 Z 轴旋转时，该点在 Z 轴上坐标保持不变，在 X,Y 轴上坐标轴上退化为二维旋转，如下图所示：

      

     由 

 得 

，

      由 

 得 

，

      最终得：  

，其中矩阵变换表示为：

；

      同理， 绕 X 轴旋转表示为：

，绕 Y 轴旋转表示为：

。

      当对任意点旋转 

 后再旋转 

，该点回到原始位置，则旋转矩阵 

 是旋转矩阵 

 得逆矩阵，观察以上旋转矩阵可知 

。

     2 绕过原点任意单位向量轴旋转

        当旋转轴为过原点任意轴时，可使用如下方案旋转：

        1）旋转对象使得旋转轴与某一坐标轴重合；

        2）绕该坐标轴旋转；

        3）使用逆旋转使旋转轴回到原始方向；

        使用矩阵表示为： 

。

        

        如上图所示，u=(a,b,c) 为任意过原点旋转轴，

。要旋转 u 使其与 z 轴重合，首先需将 u 轴旋转到 xz 平面。

        将 u 投影到 yz 平面得 

，在 yz 平面上将 

 旋转 到 z 轴的旋转角等于将 u 绕 x 轴旋转到 xz 平面。

        根据余弦定理得：

。

        利用向量叉乘求正弦：

，

，

        求解得：

。这里不使用 

 求解是因为该公式无法确定计算结果符号。

        使用矩阵形式表示 u 绕 x 轴旋转 

：

，旋转后向量为：

。

        

 绕 y 轴旋转到 z 轴上的旋转角余弦为：

。

        利用向量叉乘求正弦：

，

，

。

        使用矩阵形式表示 

 绕 y 轴旋转 

：

。

        当将任意单位坐标做旋转到与 z 轴重合后，使用以下矩阵完成真实旋转：

。

        然后使用逆旋转矩阵还原原始坐标（逆旋转矩阵为对应旋转矩阵的转置矩阵），实现绕任意过原点单位向量旋转。

    3 罗德里格斯公式

       使用罗德里格斯公式，同样可以实现绕过原点任意单位向量旋转，详细讲解在 使用罗德里格斯公式描述三维旋转_rodriguez formula的引用-CSDN博客。

       该方法最终推导出了旋转矩阵为：

，

。

       理论上来说，以上两种方案推导出的旋转矩阵应该是一致的（旋转轴与旋转角度一致情况下）。

    4 引入平移

       当旋转轴不过原点时，可以引入平移矩阵实现绕任意轴旋转。

       假设旋转轴过点 

，

，

，

       首先构造单位长度旋转轴向量为： 

，

       构造平移矩阵为：

，

       旋转矩阵 

 被改写为：

，

       旋转轴为以上单位旋转向量，从而实现了绕任意轴旋转。

       在罗德里格斯公式中，采用同样方式构造绕任意轴旋转矩阵为：

。

    5 四元数描述旋转

       1）四元数概念

             四元数是复数到高维扩充，定义为 

，

             

。

             将四元数表示成向量 

，

             定义四元数加法为 

，

             等价于 

。

             定义四元数乘法为 

。

             由于四元数平方和为 

，可定义四元数的逆为 

，使得 

 成立。

       2）描述旋转轴为过原点任意单位向量的旋转

             

 为旋转轴单位向量，定义 

，

             则任意点 p = (x,y,z) 被描述为 

，旋转后点为 

，

             使用公式 

 可计算出 p 点旋转后坐标 

。

             使用四元数计算规则可得 

，

             由于 

，有 

，

             

。

             引入向量 v 的叉积矩阵 

，上式可改写为：

，实现 p 到  

 旋转变换。

       3）与罗德里格斯公式关系

             令旋转轴为单位向量(x,y,z)，旋转角度为 

，旋转四元数定义为 

；

             根据三角函数有 

，

，

             罗德里格斯公式改写为  

，

             由于 

，可定义 

，

             进一步改写罗德里格斯公式 

，

             最终整理结果为 

；

             将 

 整理成矩阵形式，其结果与罗德里格斯整理矩阵一致，因此验证了两种方式是一致的。