医学图像重建—第一章笔记

序言

本书涵盖内容：
2D parallel beam imaging
2D fan beam imaging
3D parallel ray imaging
3D parallel plane imaging
3D cone beam imaging

算法包括：analytical method，iterative method

应用于：
X-ray CT
single photon emission CT（SPECT）
positron emission tomography（PET）
magnetic resonance imaging（MRI）

层析的基本原理

tomos：希腊语，意为截面，切片。
tomography：横截面成像的过程。
断层成像：得到物体内部的截面图像。
CT：computed tomography，计算机断层成像。
图像重建：由物体投影数据得到断层成像。

投影即射线和，线积分，radon变换。
下面举几个投影的例子：
1、二维 x-y 平面中的一个均匀圆盘，圆盘的圆心在坐标原点。圆盘投影值表示为：
$p(s)=2\rho \sqrt{R^2-s^2},|s|<R$
$p(s)=0,|s|\ge R$
由于圆盘是中心对称的几何体，因此对于所有角度来说，投影都一样：$p(s,\theta )=p(s)$
2、 y 轴上坐标为$(0,r)$的点源投影：
$p(s,\theta )=1,s=rsin\theta$
$p(s,\theta )=0,s\ne rsin\theta$
探测器旋转一圈，采集到的投影数据是一个正弦函数。
由此，人们将投影数据称为正弦图。

点源重建：解出点源的位置以及数值。
投影数据：沿着每条与探测器垂直的直线，对物体求线积分。
反投影：沿着每条与探测器垂直的直线，将投影数据均匀涂抹回去。
反投影导致边缘模糊不清，先在点源投影脉冲两边添加一对负值的翅膀（滤波）再进行反投影。（FBP，Filtered Backprojection）
点源重建只需要两个角度投影数据。

反投影的定义取决于投影是如何定义的。但反投影运算并不是投影运算的逆运算，反投影算子不是投影算子的逆算子。
一个2x2的矩阵：$A=[a_{ij}{]}_{2\times 2}$，对其进行0度与90度的投影：
$p_{11}=a_{11}+a_{21}$
$p_{12}=a_{12}+a_{22}$
$p_{21}=a_{11}+a_{12}$
$p_{22}=a_{21}+a_{22}$
进行反投影：
$B=\left[\begin{array}{cc}{p}_{11}+p_{21}& p_{12}+p_{21}\\ p_{11}+p_{22}& p_{12}+p_{22}\end{array}\right]$
原矩阵，投影矩阵，反投影矩阵：$A,P,B$，三者存在以下关系：
$P=CA$
$B=C^{T}P$
$B=C^{T}CA$
反投影算子$C^T$与投影算子$C$的关系不是求逆而是共轭转置

$f(x,y)$为物体截面密度函数
投影函数（射线和，线积分，Radon变换）有下面下面几种表达方式：
$p(s,\theta )=\int \int f(x,y)\delta (xcos\theta +ysin\theta -s)dxdy$
$p(s,\theta )=\int \int f(x,y)\delta (\vec{x}\cdot \vec{\theta }-s)dxdy$
$p(s,\theta )=\int f(scos\theta -tsin\theta ,ssin\theta +tcos\theta )dt$
$p(s,\theta )=\int f(\vec{\theta }+t\overrightarrow{{\theta }^{\prime }})dt$
$p(s,\theta )=\int f_{\theta }(s,t)dt$
以上表达式积分范围为$[-\infty ,\infty ]$
$\vec{\theta },\overrightarrow{{\theta }^{\prime }}$为垂直与平行于平行束方向的单位向量。
$\theta$为探测器绕物体逆时针转，等价于物体绕旋转中心顺时针转。

反投影图像的几种表达方式：
$b(x,y)={\int }_0^{\pi }p(s,\theta ){|}_{s=xcos\theta +ysin\theta }d\theta$
$b(x,y)={\int }_0^{\pi }p(s,\theta ){|}_{s=\vec{x}\cdot \vec{\theta }}d\theta$
$b(x,y)={\int }_0^{\pi }p(\vec{x}\cdot \vec{\theta },\theta )d\theta$
$b(x,y)=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }p(s,\theta ){|}_{s=xcos\theta +ysin\theta }d\theta$

函数$f(\vec{x})=\delta (\vec{x}-{\vec{x}}_0)=\delta (x-x_0)\delta (y-y_0)$的Radon变换：（逐步推导）
$p(s,\theta )=\int \int f(\vec{x})\delta (\vec{x}\cdot \vec{\theta }-s)dxdy$
$p(s,\theta )=\int \int \delta (x-x_0)\delta (y-y_0)\delta (xcos\theta +ysin\theta -s)dxdy$
$p(s,\theta )=\int \delta (y-y_0)\int \delta (x-x_0)\delta (xcos\theta +ysin\theta -s)dxdy$
$p(s,\theta )=\int \delta (y-y_0)\delta (x_{0}cos\theta +ysin\theta -s)dy$
$p(s,\theta )=\delta (x_{0}cos\theta +y_{0}sin\theta -s)$
这里运用了$\delta$函数的第一条性质。

补充

之前共轭转置和代数余子式转置都叫做adjoint
现在共轭转置叫adjugate，代数余子式转置叫classical adjoint
代数余子式转置：$C^{\ast }=|C|C^{-1}$
共轭转置：$C^{\ast }=C^H=conj(C^T)$
因此书上的这个伴随只得是共轭转置。
参考：[学习笔记]共轭转置矩阵与伴随矩阵都用A*表示合理吗？ - 裴以鹏的文章 - 知乎. https://zhuanlan.zhihu.com/p/87330558.

狄拉克分布函数$\delta (x)$可以通过高斯函数$G(x,n)$来定义：
$li{m}_{n\to \infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }G(x,n)f(x)dx={\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (x)f(x)dx=f(0)$
其中，$f(x)$为一个平滑函数，对于任意N有$li{m}_{x\to \infty }{x}^{N}f(x)=0$，$G(x,n)=(n/\pi {)}^{1/2}{e}^{-n{x}^2}$

$\delta (x)$的性质：
${\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (x-a)f(x)dx={\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (x)f(x+a)dx=f(a)$
${\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (ax)f(x)dx=f(0)/|a|$
${\int }_{-\infty }^{\infty }{\delta }^{(n)}(x)f(x)dx=(-1{)}^n{f}^{(n)}(0)$
$\delta (g(x))f(x)={\Sigma }_n\delta (x-{\lambda }_n)/|g^{\prime }({\lambda }_n)|$, ${\lambda }_n$为$g$的零点

二维狄拉克分布函数 $\delta (\vec{x})=\delta (x)\delta (y)$
三维狄拉克分布函数 $\delta (\vec{x})=\delta (x)\delta (y)\delta (z)$