无穷限积分习题

前置知识：无穷限积分

习题1

计算${\int }_1^{+\infty }\frac{\ln x}{x^2}dx$

解：
\qquad 原式$=(-\frac{\ln x}{x}){|}_1^{+\infty }+{\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^2}dx=(-\frac{\ln x}{x}){|}_1^{+\infty }+(-\frac{1}{x}){|}_1^{+\infty }$

$=(-0+0)+(-0+1)=1$

其中，$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}$由洛必达法则可得为$0$。

习题2

计算${\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{x^2+2x+2}dx$

解：
\qquad 原式$={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{1+(x+1{)}^2}d(x+1)=\arctan (x+1){|}_{-\infty }^{+\infty }$

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\arctan x-\underset{x\to -\infty }{\lim }\arctan x=\frac{\pi }{2}-(-\frac{\pi }{2})=\pi$

习题3

计算${\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{e^x+e^{2-x}}dx$

解：
\qquad 原式$={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{e^{2-x}(e^{2x-2}+1)}dx=\frac{1}{e}{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{e^{x-1}}{(e^{x-1}{)}^2+1}dx$

$=\frac{1}{e}(\arctan e^{x-1}){|}_{-\infty }^{+\infty }=\frac{1}{e}(\frac{\pi }{2}-0)=\frac{\pi }{2e}$

习题4

设$p>0$，求${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx$的收敛性。

解：
$${\int }_1^b\frac{1}{x^p}dx=\{\begin{array}{c}\ln b,p=1\\ \\ \frac{b^{1-p}-1}{1-p},p\ne 1\end{array}$$

\qquad 当$0<p<1$时，$\underset{b\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x^p}dx=\frac{b^{1-p}-1}{1-p}\to +\infty$

\qquad 当$p=1$时，$\underset{b\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x^p}dx=\ln b\to +\infty$

\qquad 当$p>1$时，$\underset{b\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x^p}dx=\frac{1}{p-1}$

\qquad 综上所述，${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx$在$0<p\le 1$时发散，在$p>1$时收敛

总结

在一般情况下，无穷限积分可以和普通积分一样进行变换。有良好的微积分的基础，才能够很好地学习这类知识。