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30. 利用linprog 解决 生产决策问题(matlab程序)

1.简述

      

     线线规划的几个基本性质:【文献[1]第46页】

       (1)线性规划问题的可行域如果非空,则是一个凸集-凸多面体;

       (2)如果线性规划问题有最优解,那么最优解可在可行域的顶点中确定;

       (3)如果可行域有界,且可行域只有有限个顶点,则问题的最优解必存在,并在这有限个顶点中确定;

       (4)最优解可由最优顶点处的有效约束形成的方程组的解确定。

       常用的线性规划求解方法有单纯形法和内点法。

1、单纯形法(simplex method)

       单纯形法是由G.B. Dantzig在1947年提出来的,这是20世纪数学界最重大的成果之一。单纯形法是一种迭代法,它根据线性规划问题的特点在问题可行域的顶点中逐步确定问题的最优解。在每一个是基本可行解的迭代点(即顶点),如果它不是最优的,单纯形法从与该顶点相连结的边中确定一个使目标函数值下降的边,沿该边移动可以确定一个与该顶点相邻且目标函数又优于该顶点的新顶点(新的基本可行解)。由于可行域的顶点数是有限的,如果每一次的移动都能使目标函数值下降,则经过有限次的移动方法必终止于问题的一个最优顶点。【文献[1]第57页】

       单纯形法要求线性规划具有标准形式,即


即约束函数都是等式约束,且决策变量均是非负的。

       任何线性规划问题使用单纯形法时都需要通过变换转换为线性规划的标准形。转换方法参见文献[1]第51页例2.1.6。

2、从单纯形法到内点法

       由于单纯形法的有效性,几十年来得到了广泛的应用。近年来,对于大规模的线性规划问题,尽管单纯形法受到了内点法的挑战,但单纯形法还是受到广大用户的青睐。

       一个算法如果其求得问题的解所用的运算工作量是问题的参数m和n的多项式,则称这一算法的复杂多项式时间算法;如果所需运算工作量的阶数是以m或n为幂的指数2m或2n,则称复杂性是指数时间的算法。

       单纯形算法的平均运算工作量是多项式时间的,但对于一个具体的问题其算法的复杂性并不一定是多项式的。1972年,Klee和Minty给出了一个复杂性为指数时间的例子。那么对线性规划问题是否存在时间复杂性是多项式的算法呢?如果存在多项式时间算法,如何设计这样的算法?

       1979年,前苏联数学家Khachiyan回答了第1个问题,他提出了一个椭球算法求不等式问题的解,并证明了算法的时间复杂性是多项式的。利用对偶理论,线性规划问题可以转换成不等式问题,这就明确回答了对线性规划存在多项式时间算法。但是计算的实际表明,椭球算法的效果要比单纯形方法差得多,并不是一个有实际应用价值的算法。

       1984年,在美国贝尔实验室工作的印度数学家Karmarkar回答了第2个问题,它对线性规划的求解提出了一个具有多项式时间复杂性的内点算法。

3、内点法(interior point method)

       求线性规划问题的单纯形方法在问题的基本可行解中确定最优解,在几何上,每次迭代它是沿着可行域的边界从一个顶点向另一个更好的顶点移动来实现的。内点算法则完全不同,它是从可行域的一个严格内点开始,产生一个使目标函数值逐步改善的严格内点序列,并最终收敛于问题的最优解。通过下图可以清晰的看出单纯形法与内点法的区别。


单纯形法与内战法轨迹(文献[1]图2.4.4)

       经过近20年的研究与发展,如今已有大量求解线性规划问题的内点算法,它们可以分成三类:路径跟踪算法,仿射调比算法,和原始对偶内点算法(primal-dual interior point method)。

4、线性规划问题的MATLAB求解

       在MATLAB中求解线性规划问题的函数是linprog,该函数集中了几种求线性规划的算法,如内点法和单纯形法,根据问题的规模或用户指定的算法进行求解。具体使用方法可查询帮助文件。


 

 

2.代码

 

主程序:

%%  生产决策问题
f=[-5;-7]; %线性方程系数
A=[4,2;5,4;2,7;-6,-5;]; %线性不等式约束系数矩阵
b=[90;200;210;0];  
l=[0 0];   %变量上限
[xo,fo,exitflag]=linprog(f,A,b,[],[],l)

 

 

子程序:

function [x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,B,Aeq,Beq,lb,ub,x0,options)
%LINPROG Linear programming.
%   X = LINPROG(f,A,b) attempts to solve the linear programming problem:
%
%            min f'*x    subject to:   A*x <= b
%             x
%
%   X = LINPROG(f,A,b,Aeq,beq) solves the problem above while additionally
%   satisfying the equality constraints Aeq*x = beq. (Set A=[] and B=[] if
%   no inequalities exist.)
%
%   X = LINPROG(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB) defines a set of lower and upper
%   bounds on the design variables, X, so that the solution is in
%   the range LB <= X <= UB. Use empty matrices for LB and UB
%   if no bounds exist. Set LB(i) = -Inf if X(i) is unbounded below;
%   set UB(i) = Inf if X(i) is unbounded above.
%
%   X = LINPROG(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0) sets the starting point to X0. This
%   option is only available with the active-set algorithm. The default
%   interior point algorithm will ignore any non-empty starting point.
%
%   X = LINPROG(PROBLEM) finds the minimum for PROBLEM. PROBLEM is a
%   structure with the vector 'f' in PROBLEM.f, the linear inequality
%   constraints in PROBLEM.Aineq and PROBLEM.bineq, the linear equality
%   constraints in PROBLEM.Aeq and PROBLEM.beq, the lower bounds in
%   PROBLEM.lb, the upper bounds in  PROBLEM.ub, the start point
%   in PROBLEM.x0, the options structure in PROBLEM.options, and solver
%   name 'linprog' in PROBLEM.solver. Use this syntax to solve at the
%   command line a problem exported from OPTIMTOOL.
%
%   [X,FVAL] = LINPROG(f,A,b) returns the value of the objective function
%   at X: FVAL = f'*X.
%
%   [X,FVAL,EXITFLAG] = LINPROG(f,A,b) returns an EXITFLAG that describes
%   the exit condition. Possible values of EXITFLAG and the corresponding
%   exit conditions are
%
%     3  LINPROG converged to a solution X with poor constraint feasibility.
%     1  LINPROG converged to a solution X.
%     0  Maximum number of iterations reached.
%    -2  No feasible point found.
%    -3  Problem is unbounded.
%    -4  NaN value encountered during execution of algorithm.
%    -5  Both primal and dual problems are infeasible.
%    -7  Magnitude of search direction became too small; no further
%         progress can be made. The problem is ill-posed or badly
%         conditioned.
%    -9  LINPROG lost feasibility probably due to ill-conditioned matrix.
%
%   [X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT] = LINPROG(f,A,b) returns a structure OUTPUT
%   with the number of iterations taken in OUTPUT.iterations, maximum of
%   constraint violations in OUTPUT.constrviolation, the type of
%   algorithm used in OUTPUT.algorithm, the number of conjugate gradient
%   iterations in OUTPUT.cgiterations (= 0, included for backward
%   compatibility), and the exit message in OUTPUT.message.
%
%   [X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA] = LINPROG(f,A,b) returns the set of
%   Lagrangian multipliers LAMBDA, at the solution: LAMBDA.ineqlin for the
%   linear inequalities A, LAMBDA.eqlin for the linear equalities Aeq,
%   LAMBDA.lower for LB, and LAMBDA.upper for UB.
%
%   NOTE: the interior-point (the default) algorithm of LINPROG uses a
%         primal-dual method. Both the primal problem and the dual problem
%         must be feasible for convergence. Infeasibility messages of
%         either the primal or dual, or both, are given as appropriate. The
%         primal problem in standard form is
%              min f'*x such that A*x = b, x >= 0.
%         The dual problem is
%              max b'*y such that A'*y + s = f, s >= 0.
%
%   See also QUADPROG.

%   Copyright 1990-2018 The MathWorks, Inc.

% If just 'defaults' passed in, return the default options in X

% Default MaxIter, TolCon and TolFun is set to [] because its value depends
% on the algorithm.
defaultopt = struct( ...
    'Algorithm','dual-simplex', ...
    'Diagnostics','off', ...
    'Display','final', ...
    'LargeScale','on', ...
    'MaxIter',[], ...
    'MaxTime', Inf, ...
    'Preprocess','basic', ...
    'TolCon',[],...
    'TolFun',[]);

if nargin==1 && nargout <= 1 && strcmpi(f,'defaults')
   x = defaultopt;
   return
end

% Handle missing arguments
if nargin < 9
    options = [];
    % Check if x0 was omitted and options were passed instead
    if nargin == 8
        if isa(x0, 'struct') || isa(x0, 'optim.options.SolverOptions')
            options = x0;
            x0 = [];
        end
    else
        x0 = [];
        if nargin < 7
            ub = [];
            if nargin < 6
                lb = [];
                if nargin < 5
                    Beq = [];
                    if nargin < 4
                        Aeq = [];
                    end
                end
            end
        end
    end
end

% Detect problem structure input
problemInput = false;
if nargin == 1
    if isa(f,'struct')
        problemInput = true;
        [f,A,B,Aeq,Beq,lb,ub,x0,options] = separateOptimStruct(f);
    else % Single input and non-structure.
        error(message('optim:linprog:InputArg'));
    end
end

% No options passed. Set options directly to defaultopt after
allDefaultOpts = isempty(options);

% Prepare the options for the solver
options = prepareOptionsForSolver(options, 'linprog');

if nargin < 3 && ~problemInput
  error(message('optim:linprog:NotEnoughInputs'))
end

% Define algorithm strings
thisFcn  = 'linprog';
algIP    = 'interior-point-legacy';
algDSX   = 'dual-simplex';
algIP15b = 'interior-point';

% Check for non-double inputs
msg = isoptimargdbl(upper(thisFcn), {'f','A','b','Aeq','beq','LB','UB', 'X0'}, ...
                                      f,  A,  B,  Aeq,  Beq,  lb,  ub,   x0);
if ~isempty(msg)
    error('optim:linprog:NonDoubleInput',msg);
end

% After processing options for optionFeedback, etc., set options to default
% if no options were passed.
if allDefaultOpts
    % Options are all default
    options = defaultopt;
end

if nargout > 3
   computeConstrViolation = true;
   computeFirstOrderOpt = true;
   % Lagrange multipliers are needed to compute first-order optimality
   computeLambda = true;
else
   computeConstrViolation = false;
   computeFirstOrderOpt = false;
   computeLambda = false;
end

% Algorithm check:
% If Algorithm is empty, it is set to its default value.
algIsEmpty = ~isfield(options,'Algorithm') || isempty(options.Algorithm);
if ~algIsEmpty
    Algorithm = optimget(options,'Algorithm',defaultopt,'fast',allDefaultOpts);
    OUTPUT.algorithm = Algorithm;
    % Make sure the algorithm choice is valid
    if ~any(strcmp({algIP; algDSX; algIP15b},Algorithm))
        error(message('optim:linprog:InvalidAlgorithm'));
    end
else
    Algorithm = algDSX;
    OUTPUT.algorithm = Algorithm;
end

% Option LargeScale = 'off' is ignored
largescaleOn = strcmpi(optimget(options,'LargeScale',defaultopt,'fast',allDefaultOpts),'on');
if ~largescaleOn
    [linkTag, endLinkTag] = linkToAlgDefaultChangeCsh('linprog_warn_largescale');
    warning(message('optim:linprog:AlgOptsConflict', Algorithm, linkTag, endLinkTag));
end

% Options setup
diagnostics = strcmpi(optimget(options,'Diagnostics',defaultopt,'fast',allDefaultOpts),'on');
switch optimget(options,'Display',defaultopt,'fast',allDefaultOpts)
    case {'final','final-detailed'}
        verbosity = 1;
    case {'off','none'}
        verbosity = 0;
    case {'iter','iter-detailed'}
        verbosity = 2;
    case {'testing'}
        verbosity = 3;
    otherwise
        verbosity = 1;
end

% Set the constraints up: defaults and check size
[nineqcstr,nvarsineq] = size(A);
[neqcstr,nvarseq] = size(Aeq);
nvars = max([length(f),nvarsineq,nvarseq]); % In case A is empty

if nvars == 0
    % The problem is empty possibly due to some error in input.
    error(message('optim:linprog:EmptyProblem'));
end

if isempty(f), f=zeros(nvars,1); end
if isempty(A), A=zeros(0,nvars); end
if isempty(B), B=zeros(0,1); end
if isempty(Aeq), Aeq=zeros(0,nvars); end
if isempty(Beq), Beq=zeros(0,1); end

% Set to column vectors
f = f(:);
B = B(:);
Beq = Beq(:);

if ~isequal(length(B),nineqcstr)
    error(message('optim:linprog:SizeMismatchRowsOfA'));
elseif ~isequal(length(Beq),neqcstr)
    error(message('optim:linprog:SizeMismatchRowsOfAeq'));
elseif ~isequal(length(f),nvarsineq) && ~isempty(A)
    error(message('optim:linprog:SizeMismatchColsOfA'));
elseif ~isequal(length(f),nvarseq) && ~isempty(Aeq)
    error(message('optim:linprog:SizeMismatchColsOfAeq'));
end

[x0,lb,ub,msg] = checkbounds(x0,lb,ub,nvars);
if ~isempty(msg)
   exitflag = -2;
   x = x0; fval = []; lambda = [];
   output.iterations = 0;
   output.constrviolation = [];
   output.firstorderopt = [];
   output.algorithm = ''; % not known at this stage
   output.cgiterations = [];
   output.message = msg;
   if verbosity > 0
      disp(msg)
   end
   return
end

if diagnostics
   % Do diagnostics on information so far
   gradflag = []; hessflag = []; constflag = false; gradconstflag = false;
   non_eq=0;non_ineq=0; lin_eq=size(Aeq,1); lin_ineq=size(A,1); XOUT=ones(nvars,1);
   funfcn{1} = []; confcn{1}=[];
   diagnose('linprog',OUTPUT,gradflag,hessflag,constflag,gradconstflag,...
      XOUT,non_eq,non_ineq,lin_eq,lin_ineq,lb,ub,funfcn,confcn);
end

% Throw warning that x0 is ignored (true for all algorithms)
if ~isempty(x0) && verbosity > 0
    fprintf(getString(message('optim:linprog:IgnoreX0',Algorithm)));
end

if strcmpi(Algorithm,algIP)
    % Set the default values of TolFun and MaxIter for this algorithm
    defaultopt.TolFun = 1e-8;
    defaultopt.MaxIter = 85;
    [x,fval,lambda,exitflag,output] = lipsol(f,A,B,Aeq,Beq,lb,ub,options,defaultopt,computeLambda);
elseif strcmpi(Algorithm,algDSX) || strcmpi(Algorithm,algIP15b)

    % Create linprog options object
    algoptions = optimoptions('linprog', 'Algorithm', Algorithm);

    % Set some algorithm specific options
    if isfield(options, 'InternalOptions')
        algoptions = setInternalOptions(algoptions, options.InternalOptions);
    end

    thisMaxIter = optimget(options,'MaxIter',defaultopt,'fast',allDefaultOpts);
    if strcmpi(Algorithm,algIP15b)
        if ischar(thisMaxIter)
            error(message('optim:linprog:InvalidMaxIter'));
        end
    end
    if strcmpi(Algorithm,algDSX)
        algoptions.Preprocess = optimget(options,'Preprocess',defaultopt,'fast',allDefaultOpts);
        algoptions.MaxTime = optimget(options,'MaxTime',defaultopt,'fast',allDefaultOpts);
        if ischar(thisMaxIter) && ...
                ~strcmpi(thisMaxIter,'10*(numberofequalities+numberofinequalities+numberofvariables)')
            error(message('optim:linprog:InvalidMaxIter'));
        end
    end

    % Set options common to dual-simplex and interior-point-r2015b
    algoptions.Diagnostics = optimget(options,'Diagnostics',defaultopt,'fast',allDefaultOpts);
    algoptions.Display = optimget(options,'Display',defaultopt,'fast',allDefaultOpts);
    thisTolCon = optimget(options,'TolCon',defaultopt,'fast',allDefaultOpts);
    if ~isempty(thisTolCon)
        algoptions.TolCon = thisTolCon;
    end
    thisTolFun = optimget(options,'TolFun',defaultopt,'fast',allDefaultOpts);
    if ~isempty(thisTolFun)
        algoptions.TolFun = thisTolFun;
    end
    if ~isempty(thisMaxIter) && ~ischar(thisMaxIter)
        % At this point, thisMaxIter is either
        % * a double that we can set in the options object or
        % * the default string, which we do not have to set as algoptions
        % is constructed with MaxIter at its default value
        algoptions.MaxIter = thisMaxIter;
    end

    % Create a problem structure. Individually creating each field is quicker
    % than one call to struct
    problem.f = f;
    problem.Aineq = A;
    problem.bineq = B;
    problem.Aeq = Aeq;
    problem.beq = Beq;
    problem.lb = lb;
    problem.ub = ub;
    problem.options = algoptions;
    problem.solver = 'linprog';

    % Create the algorithm from the options.
    algorithm = createAlgorithm(problem.options);

    % Check that we can run the problem.
    try
        problem = checkRun(algorithm, problem, 'linprog');
    catch ME
        throw(ME);
    end

    % Run the algorithm
    [x, fval, exitflag, output, lambda] = run(algorithm, problem);

    % If exitflag is {NaN, <aString>}, this means an internal error has been
    % thrown. The internal exit code is held in exitflag{2}.
    if iscell(exitflag) && isnan(exitflag{1})
        handleInternalError(exitflag{2}, 'linprog');
    end

end

output.algorithm = Algorithm;

% Compute constraint violation when x is not empty (interior-point/simplex presolve
% can return empty x).
if computeConstrViolation && ~isempty(x)
    output.constrviolation = max([0; norm(Aeq*x-Beq, inf); (lb-x); (x-ub); (A*x-B)]);
else
    output.constrviolation = [];
end

% Compute first order optimality if needed. This information does not come
% from either qpsub, lipsol, or simplex.
if exitflag ~= -9 && computeFirstOrderOpt && ~isempty(lambda)
    output.firstorderopt = computeKKTErrorForQPLP([],f,A,B,Aeq,Beq,lb,ub,lambda,x);
else
    output.firstorderopt = [];
end

 

 

3.运行结果

 

b2f4f6a2504743a592d694bb308fdb13.png

 

 

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补丁后服务器重启&#xff0c;数据库再次无法启动 ORA01017: invalid username/password; logon denied Oracle 19c 在打上 19.23 或以上补丁版本后&#xff0c;存在与用户组权限相关的问题。具体表现为&#xff0c;Oracle 实例的运行用户&#xff08;oracle&#xff09;和集…...

SkyWalking 10.2.0 SWCK 配置过程

SkyWalking 10.2.0 & SWCK 配置过程 skywalking oap-server & ui 使用Docker安装在K8S集群以外&#xff0c;K8S集群中的微服务使用initContainer按命名空间将skywalking-java-agent注入到业务容器中。 SWCK有整套的解决方案&#xff0c;全安装在K8S群集中。 具体可参…...

.Net框架,除了EF还有很多很多......

文章目录 1. 引言2. Dapper2.1 概述与设计原理2.2 核心功能与代码示例基本查询多映射查询存储过程调用 2.3 性能优化原理2.4 适用场景 3. NHibernate3.1 概述与架构设计3.2 映射配置示例Fluent映射XML映射 3.3 查询示例HQL查询Criteria APILINQ提供程序 3.4 高级特性3.5 适用场…...

练习(含atoi的模拟实现,自定义类型等练习)

一、结构体大小的计算及位段 &#xff08;结构体大小计算及位段 详解请看&#xff1a;自定义类型&#xff1a;结构体进阶-CSDN博客&#xff09; 1.在32位系统环境&#xff0c;编译选项为4字节对齐&#xff0c;那么sizeof(A)和sizeof(B)是多少&#xff1f; #pragma pack(4)st…...

使用分级同态加密防御梯度泄漏

抽象 联邦学习 &#xff08;FL&#xff09; 支持跨分布式客户端进行协作模型训练&#xff0c;而无需共享原始数据&#xff0c;这使其成为在互联和自动驾驶汽车 &#xff08;CAV&#xff09; 等领域保护隐私的机器学习的一种很有前途的方法。然而&#xff0c;最近的研究表明&…...

【第二十一章 SDIO接口(SDIO)】

第二十一章 SDIO接口 目录 第二十一章 SDIO接口(SDIO) 1 SDIO 主要功能 2 SDIO 总线拓扑 3 SDIO 功能描述 3.1 SDIO 适配器 3.2 SDIOAHB 接口 4 卡功能描述 4.1 卡识别模式 4.2 卡复位 4.3 操作电压范围确认 4.4 卡识别过程 4.5 写数据块 4.6 读数据块 4.7 数据流…...

linux arm系统烧录

1、打开瑞芯微程序 2、按住linux arm 的 recover按键 插入电源 3、当瑞芯微检测到有设备 4、松开recover按键 5、选择升级固件 6、点击固件选择本地刷机的linux arm 镜像 7、点击升级 &#xff08;忘了有没有这步了 估计有&#xff09; 刷机程序 和 镜像 就不提供了。要刷的时…...

《通信之道——从微积分到 5G》读书总结

第1章 绪 论 1.1 这是一本什么样的书 通信技术&#xff0c;说到底就是数学。 那些最基础、最本质的部分。 1.2 什么是通信 通信 发送方 接收方 承载信息的信号 解调出其中承载的信息 信息在发送方那里被加工成信号&#xff08;调制&#xff09; 把信息从信号中抽取出来&am…...

根据万维钢·精英日课6的内容,使用AI(2025)可以参考以下方法:

根据万维钢精英日课6的内容&#xff0c;使用AI&#xff08;2025&#xff09;可以参考以下方法&#xff1a; 四个洞见 模型已经比人聪明&#xff1a;以ChatGPT o3为代表的AI非常强大&#xff0c;能运用高级理论解释道理、引用最新学术论文&#xff0c;生成对顶尖科学家都有用的…...