P1775 石子合并（弱化版）（内附封面）

石子合并（弱化版）

题目描述

设有 $N(N\le 300)$ 堆石子排成一排，其编号为 $1,2,3,\cdots ,N$。每堆石子有一定的质量 $m_i(m_i\le 1000)$。现在要将这 $N$ 堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻。合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。试找出一种合理的方法，使总的代价最小，并输出最小代价。

输入格式

第一行，一个整数 $N$。

第二行，$N$ 个整数 $m_i$。

输出格式

输出文件仅一个整数，也就是最小代价。

样例 #1

样例输入 #1

4
2 5 3 1

样例输出 #1

22

区间动态规划

• 令$dp[i][j]$表示区间$[i,j$]的最小价值。

• 不妨从终点考虑问题，即结果为两个子区间合并的最小值再加上合并需要的代价即可。

• 枚举两个子区间，即枚举这个区间的中间点k，使这个区间被分为$[i,k]$和$[k+1,j]$两个区间，取一遍最小值加上合并的价值$w[i][j]$即为当前区间所求。

• 至于合并的代价，用前缀和即可。

得出方程

$$dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1])$$

AC CODE

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+1145;
const int INF=0x7f7f7f7f;
int n,a[N],sum[N],f[2000][2000];
int main(){cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i];f[i][i]=0;sum[i]=sum[i-1]+a[i];}for(int len=2;len<=n;len++){for(int l=1;l<=n-len+1;l++){int r=l+len-1;f[l][r]=INF;for(int k=l;k<r;k++){f[l][r]=min(f[l][r],f[l][k]+f[k+1][r]+sum[r]-sum[l-1]);}}}cout<<f[1][n];return 0;
}

附封面