DP(各种模型）

数字三角形模型

摘花生 

Hello Kitty想摘点花生送给她喜欢的米老鼠。

她来到一片有网格状道路的矩形花生地(如下图)，从西北角进去，东南角出来。

地里每个道路的交叉点上都有种着一株花生苗，上面有若干颗花生，经过一株花生苗就能摘走该它上面所有的花生。

Hello Kitty只能向东或向南走，不能向西或向北走。

问Hello Kitty最多能够摘到多少颗花生。

输入格式

第一行是一个整数T，代表一共有多少组数据。

接下来是T组数据。

每组数据的第一行是两个整数，分别代表花生苗的行数R和列数 C。

每组数据的接下来R行数据，从北向南依次描述每行花生苗的情况。每行数据有C个整数，按从西向东的顺序描述了该行每株花生苗上的花生数目M。

输出格式

对每组输入数据，输出一行，内容为Hello Kitty能摘到得最多的花生颗数。

数据范围

1≤T≤100
1≤R,C≤100,
0≤M≤1000

输入样例：

2
2 2
1 1
3 4
2 3
2 3 4
1 6 5

输出样例：

8
16

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=110;
int g[N][N];
int f[N][N];
int main()
{int t;cin>>t;while(t--){int n,m;cin>>n>>m;memset(g,0,sizeof g);memset(f,0,sizeof f);for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)cin>>g[i][j];f[1][1]=g[1][1];for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){f[i][j]=max(f[i-1][j]+g[i][j],f[i][j-1]+g[i][j]);}}cout<<f[n][m]<<endl;}return 0;
}

 最低通行费

一个商人穿过一个 N×N 的正方形的网格，去参加一个非常重要的商务活动。

他要从网格的左上角进，右下角出。

每穿越中间 1 个小方格，都要花费 1 个单位时间。

商人必须在 (2N−1) 个单位时间穿越出去。(2n-1)意味着 1+n-1+n-1 故不能走回头路 很重要

而在经过中间的每个小方格时，都需要缴纳一定的费用。

这个商人期望在规定时间内用最少费用穿越出去。

请问至少需要多少费用？

注意：不能对角穿越各个小方格（即，只能向上下左右四个方向移动且不能离开网格）。

输入格式

第一行是一个整数，表示正方形的宽度 N。

后面 NN行，每行 N 个不大于 100 的正整数，为网格上每个小方格的费用。

输出格式

输出一个整数，表示至少需要的费用。

数据范围

1≤N≤1001≤N≤100

输入样例：

5
1  4  6  8  10
2  5  7  15 17
6  8  9  18 20
10 11 12 19 21
20 23 25 29 33

输出样例：

109

样例解释

样例中，最小值为 109=1+2+5+7+9+12+19+21+33109=1+2+5+7+9+12+19+21+33。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=110;
int g[N][N];
int f[N][N];
int main()
{int n;cin>>n;memset(f,0x3f,sizeof f);for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++) cin>>g[i][j];f[1][1]=g[1][1];for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++){if(i>1) f[i][j]=min(f[i-1][j]+g[i][j],f[i][j]);if(j>1) f[i][j]=min(f[i][j-1]+g[i][j],f[i][j]);}cout<<f[n][n]<<endl;return 0;}

 方格取数 

设有 N×N 的方格图，我们在其中的某些方格中填入正整数，而其它的方格中则放入数字0。如下图所示：

某人从图中的左上角 A 出发，可以向下行走，也可以向右行走，直到到达右下角的 B 点。

在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字0）。

此人从 A 点到 B 点共走了两次，试找出两条这样的路径，使得取得的数字和为最大。

（两条道 同时走）

输入格式

第一行为一个整数N，表示 N×N 的方格图。

接下来的每行有三个整数，第一个为行号数，第二个为列号数，第三个为在该行、该列上所放的数。

行和列编号从 1 开始。

一行“0 0 0”表示结束。

输出格式

输出一个整数，表示两条路径上取得的最大的和。

数据范围

N≤10

输入样例：

8
2 3 13
2 6 6
3 5 7
4 4 14
5 2 21
5 6 4
6 3 15
7 2 14
0 0 0

输出样例：

67

 

 

 

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=15;
int g[N][N];
int f[N*2][N][N];
int main()
{int n;cin>>n;int a,b,c;while(cin>>a>>b>>c,a||b||c) g[a][b]=c;for(int k=2;k<=n+n;k++){for(int i1=1;i1<=n;i1++){for(int i2=1;i2<=n;i2++){int j1=k-i1,j2=k-i2;if(j1>=1&&j1<=n&&j2>=1&&j2<=n) {int t=g[i1][j1];if(i1!=i2) t+=g[i2][j2];int &x=f[k][i1][i2];x=max(f[k][i1][i2],f[k-1][i1-1][i2-1]+t);//下下x=max(f[k][i1][i2],f[k-1][i1-1][i2]+t);//下右x=max(f[k][i1][i2],f[k-1][i1][i2-1]+t);//右下x=max(f[k][i1][i2],f[k-1][i1][i2]+t);//右右}}}}cout<<f[n+n][n][n]<<endl;return 0;
}

 传纸条

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。

一次素质拓展活动中，班上同学安排坐成一个 m 行 n 列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。

幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。

纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标 (1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标 (m,n)。

从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。 

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。

班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙，反之亦然。 

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用 0 表示），可以用一个 0∼100 的自然数来表示，数越大表示越好心。

小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。

现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入格式

第一行有 2 个用空格隔开的整数 m 和 n，表示学生矩阵有 m 行 n 列。

接下来的 m 行是一个 m×n 的矩阵，矩阵中第 i 行 j 列的整数表示坐在第 i 行 j 列的学生的好心程度，每行的 n 个整数之间用空格隔开。

输出格式

输出一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

数据范围

1≤n,m≤50

输入样例：

3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

输出样例：

34

证明传纸条为何可以使用方格取数的代码

因为两个点相交，这个点的值只能加一次，然而我们肯定能找到一条绕过这个点走到下个点的路径，这条路径一定是大于之前相交路径的。

数学表达就是：两条路径在一个点，那么在这个点加的值就是0+g[i,j] 但是我们可以让其中一条路径绕过这个点再走到这个点的下一个点 那么加的值应该是g[i,j-1] + g[i,j] 因为是非负数，所以我们可以找到一条大于等于之前有相交点的路径，那么这个有相交点的一定不是最优解；即便这条路径是最优解也有另一条最优解和这个路径和一样，但是我们只需要输出路径和就可以了，最优解路径有可能是有相交点的，但是也有另一个最优解没有相交点，那么我们输出的路径和肯定可以是一条没有相交点的最优解 

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=60;
int g[N][N];
int f[N*2][N][N];
int main()
{int n,m;cin>>n>>m;int a,b,c;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)cin>>g[i][j];for(int k=2;k<=n+m;k++){for(int i1=1;i1<k;i1++){for(int i2=1;i2<k;i2++){int j1=k-i1,j2=k-i2;if(j1>=1&&j1<=m&&j2>=1&&j2<=m) {int t=g[i1][j1];if(i1!=i2) t+=g[i2][j2];int &x=f[k][i1][i2];x=max(f[k][i1][i2],f[k-1][i1-1][i2-1]+t);//下下x=max(f[k][i1][i2],f[k-1][i1-1][i2]+t);//下右x=max(f[k][i1][i2],f[k-1][i1][i2-1]+t);//右下x=max(f[k][i1][i2],f[k-1][i1][i2]+t);//右右}}}}cout<<f[n+m][n][n]<<endl;return 0;
}

 最长上升子序列模型

 怪盗基德的滑翔翼

怪盗基德是一个充满传奇色彩的怪盗，专门以珠宝为目标的超级盗窃犯。

而他最为突出的地方，就是他每次都能逃脱中村警部的重重围堵，而这也很大程度上是多亏了他随身携带的便于操作的滑翔翼。

有一天，怪盗基德像往常一样偷走了一颗珍贵的钻石，不料却被柯南小朋友识破了伪装，而他的滑翔翼的动力装置也被柯南踢出的足球破坏了。

不得已，怪盗基德只能操作受损的滑翔翼逃脱。

假设城市中一共有N幢建筑排成一条线，每幢建筑的高度各不相同。

初始时，怪盗基德可以在任何一幢建筑的顶端。

他可以选择一个方向逃跑，但是不能中途改变方向（因为中森警部会在后面追击）。

因为滑翔翼动力装置受损，他只能往下滑行（即：只能从较高的建筑滑翔到较低的建筑）。

他希望尽可能多地经过不同建筑的顶部，这样可以减缓下降时的冲击力，减少受伤的可能性。

请问，他最多可以经过多少幢不同建筑的顶部(包含初始时的建筑)？

输入格式

输入数据第一行是一个整数K，代表有K组测试数据。

每组测试数据包含两行：第一行是一个整数N，代表有N幢建筑。第二行包含N个不同的整数，每一个对应一幢建筑的高度h，按照建筑的排列顺序给出。

输出格式

对于每一组测试数据，输出一行，包含一个整数，代表怪盗基德最多可以经过的建筑数量。

数据范围

1≤K≤100
1≤N≤100
0<h<10000

输入样例：

3
8
300 207 155 299 298 170 158 65
8
65 158 170 298 299 155 207 300
10
2 1 3 4 5 6 7 8 9 10

输出样例：

6
6
9

 这题就是求最长上升子序列（往左滑）和最长下降子序列（往右滑）长度的最大值。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=110;
int a[N];
int f[N];
int main()
{int t;cin>>t;while(t--){memset(f,0,sizeof f);int n;cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];int num1=0,num2=0;//最长单调递减子序列for(int i=1;i<=n;i++){f[i]=1;for(int j=1;j<i;j++){if(a[j]>a[i]) f[i]=max(f[i],f[j]+1);}num1=max(num1,f[i]);}memset(f,0,sizeof f);//最长单调递增子序列 for(int i=1;i<=n;i++){f[i]=1;for(int j=1;j<i;j++){if(a[j]<a[i]) f[i]=max(f[i],f[j]+1);}num2=max(num2,f[i]);}cout<<max(num1,num2)<<endl;}return 0;
}

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=110;
int a[N];
int f[N];
int main()
{int t;cin>>t;while(t--){int num1=0,num2=0;memset(f,0,sizeof f);int n;cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];for(int i=1;i<=n;i++){f[i]=1;for(int j=1;j<i;j++){if(a[j]>a[i]) f[i]=max(f[i],f[j]+1);}num1=max(num1,f[i]);}memset(f,0,sizeof f);for(int i=n;i>=1;i--){f[i]=1;for(int j=n;j>i;j--){if(a[j]>a[i]) f[i]=max(f[i],f[j]+1); }num2=max(num2,f[i]);}cout<<max(num1,num2)<<endl;}return 0;
}

 

  登山

五一到了，ACM队组织大家去登山观光，队员们发现山上一共有N个景点，并且决定按照顺序来浏览这些景点，即每次所浏览景点的编号都要大于前一个浏览景点的编号。

同时队员们还有另一个登山习惯，就是不连续浏览海拔相同的两个景点，并且一旦开始下山，就不再向上走了。

队员们希望在满足上面条件的同时，尽可能多的浏览景点，你能帮他们找出最多可能浏览的景点数么？

输入格式

第一行包含整数N，表示景点数量。

第二行包含N个整数，表示每个景点的海拔。

输出格式

输出一个整数，表示最多能浏览的景点数。

数据范围

2≤N≤1000

输入样例：

8
186 186 150 200 160 130 197 220

输出样例：

4

 

 

 

 

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=1010;
int a[N];
int f[N][2];
int main()
{int n;cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];int ans=0;for(int i=1;i<=n;i++){f[i][0]=f[i][1]=1;for(int j=1;j<i;j++){if(a[i]>a[j]) f[i][0]=max(f[i][0],f[j][0]+1);//上升//出现下降的了 它有可能来自下降的下降 也有可能来自上升之后的下降 故取最大值if(a[i]<a[j]) f[i][1]=max(f[i][1],max(f[j][0],f[j][1])+1);}ans=max(ans,f[i][0]);ans=max(ans,f[i][1]);}cout<<ans<<endl;return 0;
}

 

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=1010;
int a[N];
int f[N],g[N];
int main()
{int n;cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];for(int i=1;i<=n;i++){f[i]=1;for(int j=1;j<i;j++){if(a[i]>a[j]) f[i]=max(f[i],f[j]+1);}}for(int i=n;i>=1;i--){g[i]=1;for(int j=n;j>i;j--){if(a[i]>a[j]) g[i]=max(g[i],g[j]+1);}}int res=0;for(int i=1;i<=n;i++) res=max(res,f[i]+g[i]-1);cout<<res<<endl;return 0;
}

合唱队形

N 位同学站成一排，音乐老师要请其中的 (N−K) 位同学出列，使得剩下的 K 位同学排成合唱队形。     

合唱队形是指这样的一种队形：设 K 位同学从左到右依次编号为 1，2…，K他们的身高分别为 T1，T2，…，TK  则他们的身高满足 T1<…<Ti>Ti+1>…>TK(1≤i≤K)

你的任务是，已知所有 N 位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。

输入格式

输入的第一行是一个整数 N，表示同学的总数。

第二行有 N 个整数，用空格分隔，第 i 个整数 Ti 是第 i位同学的身高(厘米)。

输出格式

输出包括一行，这一行只包含一个整数，就是最少需要几位同学出列。

数据范围

2≤N≤100
130≤Ti≤230

输入样例：

8
186 186 150 200 160 130 197 220

输出样例：

4