215. 数组中的第K个最大元素（快排+大根堆+小根堆）

题目链接：力扣

解题思路：

方法一：基于快速排序

因为题目中只需要找到第k大的元素，而快速排序中，每一趟排序都可以确定一个最终元素的位置。

当使用快速排序对数组进行降序排序时，那么如果有一趟排序过程中，确定元素的最终位置为k-1(索引从0开始)，那么，该元素就是第k大的元素。

具体思想下：

1. 利用快排，对数组num[left，...，right]进行降序排序，在一趟排序过程中，可以确定一个元素的最终位置p，将数组划分为三部分，num[left，...，p-1]，nums[p]，nums[p+1，right]，并且满足
   1. num[left，...，p-1] >= nums[p]
   2. num[p+1，right] <=nums[p]
   3. 即p位置以前的元素是数组中比p位置元素大的元素（此时p位置以前的元素不一定有序，但是肯定都大于等于p位置的元素），而num[p]是第p+1大的元素
2. 因为需要找到的是第k大的元素：
   1. 如果k < p，那么第k大的元素肯定在num[left，...，p-1]内，这个时候只需要对右半部分区间进行快排
   2. 如果k > p，那么第k大的元素肯定在nums[p+1，right]区间内，这个时候只需要对左半部分区间进行快排
   3. 如果 p= k-1，那么nums[p]就是第k大的元素
3. 注意这种方式并不要求最终数组中的元素有序，每次只会对左半部分或者右半部分进行快排，减少了一半的快排调用

AC代码：

class Solution {public static int findKthLargest(int[] nums, int k) {return quickSortFindK(nums, 0, nums.length - 1, k);}public static int quickSortFindK(int[] nums, int left, int right, int k) {//选取枢轴元素int pivot = nums[left];int low = left;int high = right;while (low < high) {while (low < high && nums[high] <= pivot)high--;nums[low] = nums[high];while (low < high && nums[low] >= pivot)low++;nums[high] = nums[low];}//low（或者right）就是这趟排序中枢轴元素的最终位置nums[low] = pivot;if (low == k - 1) {return pivot;} else if (low > k - 1) {return quickSortFindK(nums, left, low - 1, k);} else {return quickSortFindK(nums, low + 1, right, k);}}
}

 

快速排序的最好时间复杂度是O(nlogn)，最坏时间复杂度为O(n^2)，平均时间复杂度为O(nlogn)

快速排序在元素有序的情况下效率是最低。

不过可以通过在某些情况下，快速排序可以达到期望为线性的时间复杂度，即O(n)，也就是在每次排序前随机的交换两个元素（个人理解可能是为了让元素变乱，不那么有序，越乱越快，算法导论中在9.2 期望为线性的选择算法进行了证明，还没有学习，先在此记录下），它的时间代价的期望是 O(n)

具体代码实现，就是在排序前，加上下面的代码

//随机生成一个位置，该位置的范围为[left,right]
//然后将该位置的元素与最后一个元素进行交换，让数组变得不那么有序，
//放置出现有序的情况下快排的时间复杂度退化为o(n^2)
int randomIndex = random.nextInt(right - left + 1) + left;
int tem = nums[randomIndex];
nums[randomIndex] = nums[right];
nums[right] = tem;

AC代码：

class Solution {static Random random = new Random();public static int findKthLargest(int[] nums, int k) {return quickSortFindK(nums, 0, nums.length - 1, k);}public static int quickSortFindK(int[] nums, int left, int right, int k) {int randomIndex = random.nextInt(right - left + 1) + left;int tem = nums[randomIndex];nums[randomIndex] = nums[right];nums[right] = tem;int pivot = nums[left];int low = left;int high = right;while (low < high) {while (low < high && nums[high] <= pivot)high--;nums[low] = nums[high];while (low < high && nums[low] >= pivot)low++;nums[high] = nums[low];}nums[low] = pivot;if (low == k - 1) {return pivot;} else if (low > k - 1) {return quickSortFindK(nums, left, low - 1, k);} else {return quickSortFindK(nums, low + 1, right, k);}}
}

时间上确实有了一些提升

解法二：堆排序。

建立小根堆，最后让小根堆里的元素个数保持在k个，那么此时栈顶的元素就是k个元素中最小的,即第k大的元素

可以通过优先级队列来模拟小根堆

AC代码

class Solution {public int findKthLargest(int[] nums, int k) {PriorityQueue<Integer> queue = new PriorityQueue<>();for (int num : nums) {//已经有k个元素了，当前元素比堆顶元素还小，不可能是第k大的元素，跳过if (queue.size()==k&&queue.peek()>=num){continue;}queue.offer(num);}while (queue.size()>k){queue.poll();}return queue.peek();}
}

解法三：大根堆

1. 对于区间[0,n]建立大根堆后，此时堆顶元素nums[0]为最大值，可以将堆顶元素与最后一个元素交换，即将最大值移动到数组最后，
2. 然后将[0,n-1]区间调整为大根堆，此时堆顶nums[0]就是第二大的值，将堆顶元素与倒数第二个元素交换，即倒数第二大的值移动到数组倒数第二个位置
3. 然后将[0,n-2]区间调整为大根堆...
4. 调整 k-1此后的大根堆，此时的堆顶元素就是第k大的元素

大根堆可以使用优先级队列实现，传递一个降序的比较器。

这里复习下堆排序，手动写了一个大根堆

AC代码：

class Solution {public static int findKthLargest(int[] nums, int k) {createHeap(nums);for (int i = nums.length - 1; i > nums.length - k; i--) {int tem = nums[0];nums[0] = nums[i];nums[i] = tem;heapAdjust(nums, 0, i - 1);}return nums[0];}//建初堆public static void createHeap(int[] nums) {for (int i = nums.length / 2 - 1; i >= 0; i--) {heapAdjust(nums, i, nums.length-1);}}/*调整成大根堆nums[begin+1,end]已经是大根堆，将nums[begin,end]调整为以nums[begin]为根的大根堆*/public static void heapAdjust(int[] nums, int begin, int end) {int tem = nums[begin];for (int i = 2 * begin + 1; i <= end; i = i * 2 + 1) {if (i+1 <= end && nums[i] < nums[i+1])//j为左右子树中较大的子树的下标i++;//tem大于左右子树，已经是大根堆，退出if (tem >= nums[i])break;nums[begin] = nums[i];//更新待插入的位置begin = i;}//tem应该存放的位置nums[begin] = tem;}
}